Высшая математика. Анкилов А.В - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

121
Глава 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
В дифференциальном исчислении изучаются понятия производной и дифференциала и
способы их применения к исследованию функций. Развитие дифференциального исчисления
тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе
они составляют основу математического анализа, имеющего чрезвычайное значение для
естествознания, техники и экономики. Основной предпосылкой для создания
дифференциального исчисления явилось введение в математику переменных величин
Р. Декартом. В общих чертах построение дифференциального и интегрального исчислений
было завершено в трудах И. Ньютона и Г. Лейбница к концу 17 в. Создание
дифференциального и интегрального исчислений явилось началом периода бурного развития
математики и связанных с ней прикладных наук.
5.1. Задачи, приводящие к понятию производной
5.1.1. Скорость движения
Рассмотрим задачу о скорости движения. Пусть точка движется вдоль прямой и
известна зависимость )(tSS
пройденного пути от времени
t
(рис. 5.1).
Рис. 5.1. Прямолинейное движение точки
Средняя скорость движения на интервале времени
ttt
00
, равна отношению
пройденного за это время пути
S к промежутку времени t
:
t
S
v
ср
. Чем меньше t
, тем
лучше средняя скорость характеризует движение.
Мгновенной скоростью в момент времени
0
t называется предел средней скорости за промежуток от
0
t до tt
0
при
0t
:
t
S
vtv
t
ср
t
00
0
limlim)(.
Если учесть, что )()(
00
tSttSS , то можно записать
t
tSttS
tv
t
)()(
lim)(
00
0
0
.
Таким образом, скорость движения точки в момент времени
0
t – это предел отношения
приращения пути
S (функции) к приращению времени t
(аргумента) при стремлении
приращения времени
t (аргумента) к нулю.
5.1.2. Касательная к кривой
Определение 5.1.1. Касательной к кривой L в точке А называется предельное
положение
A
T
секущей AB , когда точка L
B
стремится к точке A по кривой L (рис. 5.2).

Страницы