Высшая математика. Анкилов А.В - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

122
Рассмотрим задачу о касательной к кривой. Пусть на плоскости в декартовой системе
координат задана кривая уравнением
)(xfy
. Требуется определить угловой коэффициент
касательной, проведенной к кривой в точке ),(
00
yxA , т. е.
0
tg
, где
0
– угол, образованный
касательной и осью абсцисс.
Рис. 5.2. Касательная к кривой Рис. 5.3. Угол наклона касательной
Рассмотрим некоторую близкую к
A точку кривой ),(
00
yyxxB
. Найдем
угловой коэффициент секущей
A
B
:
x
y
AC
BC
tg .
Если устремить точку
B
(по кривой) к точке A , то угол
будет стремиться к углу
0
.
А, следовательно, и
0
0
tgtglim
x
, т. к. функция
tg непрерывна. Таким образом,
x
y
x
0
0
limtg
.
Если учесть, что )(
00
xfy и )(
00
xxfyy
, т. е. )()(
00
xfxxfy
, то
x
xfxxf
x
)()(
limtg
00
0
0
.
Итак, тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox – это
предел отношения приращения функции
y
к приращению аргумента x при стремлении
приращения аргумента
x
к нулю.
5.2. Производная и дифференциал функции
Очевидно, в предыдущих задачах выполнялось одно и то же действие – вычислялся
предел отношения приращения функции
y
к приращению аргумента x при стремлении
приращения аргумента
x
к нулю. Мы подошли к основному понятию дифференциального
исчисления – понятию производной.
5.2.1. Производная функции
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
0
x . Дадим аргументу
0
x
приращение
x
. Тогда функция )(xfy
получит приращение y
, определяемое как
разность: )()(
00
xfxxfy .

Страницы