Высшая математика. Анкилов А.В - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

123
Определение 5.2.1. Если функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки
0
x , то (первой) производной функции y=f(x) в указанной точке называется конечный предел
отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента
стремится к нулю
.
)()(
limlim)(
00
00
0
x
xfxxf
x
y
xf
xx
(5.1)
Наряду с обозначением )(xf
для производной употребляются и другие обозначения,
например,
dx
dy
dx
xdf
yy
x
,
)(
,,
.
Если
x
y
x 0
lim , то говорят, что производная )(xf
функции )(xf в точке
0
x
обращается в бесконечность и обозначают это обстоятельство символически записью
)(
0
xf .
Процесс нахождения производной будем называть
дифференцированием.
Пример 5.2.1. Исходя из определения, найти производную функции
2
x .
Решение. Функция
2
xy определена и непрерывна в любой точке числовой прямой.
Придадим аргументу функции в точке
0
x приращение
x
. Тогда соответствующее
приращение величины
y есть

2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
000
22)( xxxxxxxxxxxxfxxfy ,
откуда .2
0
xx
x
y
Следовательно,
.2)2(limlim
00
00
xxx
x
y
xx
Ответ:

xx 2
2
.
5.2.2. Дифференцируемость функций. Связь между дифференцируемостью
и непрерывностью функции
Определение 5.2.2. Если функция )(xfy
имеет производную в точке
0
x , т. е. если
существует предел (5.1), то будем говорить, что функция
)(xfy
дифференцируема
в точке
0
x .
Теорема 5.2.1. Если функция )(xfy
дифференцируема в точке
0
x , то функция
)(xfy непрерывна в этой точке.
Докажем эту теорему. Нам дано, что функция )(
xfy
дифференцируема в точке
0
x ,
т. е.
)('lim
0
0
xf
x
y
x
существует и конечен. Надо доказать, что 0lim
0
y
x
.
Доказательство. Вычислим y
x
0
lim .
00)('lim)('limlimlimlim
0
0
0
0000
xfxxfx
x
y
x
x
y
y
xxxxx
.
Теорема доказана.

Страницы