Высшая математика. Анкилов А.В - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

124
Замечание. Обратное заключение неверно, т. е. из того, что в какой-нибудь точке
0
x
функция )(xfy непрерывна, еще не следует, что в этой точке она дифференцируема:
функция может и не иметь производной в точке
0
x . Это будет показано в примере 5.2.2.
5.2.3. Односторонние производные функции
Определение 5.2.3. Если в пределе
x
y
x
0
lim величина
x
стремится к нулю, оставаясь
положительной (
0x
), и соответствующий предел существует, то он называется
правосторонней или правой производной функции в точке x и обозначается
x
y
y
x
пр
0
lim .
Определение 5.2.4. Если в пределе
x
y
x
0
lim величина
x
стремится к нулю, оставаясь
отрицательной (
0x
), и соответствующий предел существует, то он называется
левосторонней или левой производной функции в точке x и обозначается
x
y
y
x
лев
0
lim .
Из соответствующих утверждений для односторонних пределов следует, что если левая
и (или) правая производные в точке x не существуют или существуют, но не равны между
собой, то производная функции в точке x не существует.
Пример 5.2.2. Существует ли производная в точке 0
0
x для функции xy , где
)1;1(x ?
Решение. Вычислим правую и левую производную в точке 0
0
x .
а)
,lim
)()(
limlim)(
00
0
00
00
x
xxx
x
xyxxy
x
y
xy
x
xx
пр
1limlim
00
lim)0(
000
x
x
x
x
x
x
y
xxx
пр
;
б)
,lim
)()(
limlim)(
00
0
00
00
x
xxx
x
xyxxy
x
y
xy
x
xx
лев
1limlim
00
lim)0(
000
x
x
x
x
x
x
y
xxx
лев
.
Получили )0()0(
прлев
yy
. Следовательно, функция
xy , где )1;1(x не имеет
производной в точке 0
0
x , хотя и непрерывна в ней.
Таким образом, как уже говорилось, непрерывность функции в точке не является
достаточным условием для дифференцируемости функции в этой точке.
Используя определение производной, найдем производные некоторых элементарных
функций.
1.
constCy . Покажем, что 0)(
Cy .
Решение. Значениям аргументов
0
x и xx
0
соответствует одно и то же значение
Cy . Поэтому
0lim
)()(
limlim)(
0
00
00
x
CC
x
xyxxy
x
y
Cy
xxx
.
Рис. 5.4. График функции xy

Страницы