Высшая математика. Анкилов А.В - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

126
Значению
x
соответствует значение
)()()( xVxUxy
, а значению xx
соответствует значение
)()()( xxVxxUxxy
. Тогда


.)()()()(
)()()()()()()()(
VUxVxxVxUxxU
xVxUxxVxxUxVxUxxVxxUy
Следовательно,
VU
x
V
x
U
x
V
x
U
x
VU
x
y
VU
xxxxx
00000
limlimlimlimlim)(
.
Аналогично доказываются остальные утверждения.
Следствие. Учитывая, что 0)(
C )( constC
и правило дифференцирования
произведения, получаем
)())(()())(( xUCxUCxUCxUC
,
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Пример 5.2.3. Пусть
y
tg . Докажем, что
x
2
cos
1
)tg(
.
Решение.
.
cos
1
)tg(
cos
1
cos
sincos
cos
sin)sin(coscos
cos
sin)(coscos)(sin
cos
sin
)tg(
222
22
22
x
x
xx
xx
x
xxxx
x
xxxx
x
x
xy
Аналогично доказывается, что
x
2
sin
1
)ctg(
.
Пример 5.2.4. Пусть xy
a
log . Докажем, что
ax
x
a
ln
1
)(log
.
Решение.
ax
x
axxa
x
aa
x
xy
aa
ln
1
)(log
ln
11
ln
1
)(ln
ln
1
ln
ln
)(log
.
5.2.5. Производная обратной функции
Теорема 5.2.2. Пусть функция
)(xfy
непрерывна и строго монотонна (возрастает
или убывает) на некотором множестве
X
. Если функция )(xfy
имеет в точке Xx
отличную от нуля производную )(
xf
, то и обратная ей функция )( ygx имеет в
соответствующей точке
y
производную
)( yg
, причем
)(
1
)(
xf
yg
, или
x
y
y
x
1
.
Докажем эту теорему. Так как функция
)(xfy
непрерывна и строго монотонна, то по
теореме 4.4.1 и обратная ей функция
)( ygx
непрерывна и строго монотонна. Дадим
переменной
y
приращение y . Соответствующее приращение x
обратной функции также
не равно нулю вследствие строгой монотонности. Поэтому
y
y
x
1
. Вследствие
непрерывности функции
)(xfy
и строгой монотонности 0
x при
0y
.
Тогда
)(
1
lim
1
lim)(
0
0
xf
y
y
x
yg
x
x
)0)((
xf , т. е.
)(
1
)(
xf
yg
, или
x
y
y
x
1
.
Теорема доказана.

Страницы