Высшая математика. Анкилов А.В - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

127
Пример 5.2.5. Пусть xy arcsin , где )1;1(
x .
Докажем, что
2
1
1
)(arcsin
x
x
.
Решение. Для функции xy arcsin функция yx sin
, где
2
;
2
y будет
обратной. По теореме о производной обратной функции имеем
222
1
1
1
1
sin1
1
cos
1
)(sin
11
)(arcsin
xxy
yyx
xy
yy
xx
(перед корнем ставим знак «+», т. к. 0cos y при
2
;
2
y ).
Получили
2
1
1
)(arcsin
x
x
.
Аналогично доказывается, что
2
1
1
)(arccos
x
x
.
Пример 5.2.6. Пусть
x
y
arctg , где R
x . Докажем, что
2
1
1
)arctg(
x
x
.
Решение. Для функции
x
y
arctg функция
y
x
tg
, где
2
;
2
y будет обратной.
По теореме о производной обратной функции имеем
22
2
2
1
1
tg1
1
cos
cos
1
1
)tg(
11
)arctg(
xy
y
y
yx
xy
yy
xx
.
Получили
2
1
1
)arctg(
x
x
.
Аналогично доказывается, что
2
1
1
)arcctg(
x
x
.
5.2.6. Таблица производных
Приведем производные основных элементарных функций (табл. 5.1).
Таблица 5.1
Таблица производных основных элементарных функций
1

1
aa
axx ;
8

2
1
1
arcsin
x
x
;
2

)0(ln
aaaa
xx
, в частности,
xx
ee
;
9

2
1
1
arccos
x
x
;
3

),1,0(
ln
1
log
||log
aa
axx
e
x
a
a
в частности,

x
x
1
||ln
(при x>0 знак модуля можно убрать);
10

2
1
1
arctg
x
x
;
11

2
1
1
arcctg
x
x
;
4

xx cossin
;
12

xx chsh
;

Страницы