Высшая математика. Анкилов А.В - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

178
Глава 7. Интегральное исчисление функции одной переменной
В интегральном исчислении изучается понятие интеграла, его свойства и методы
вычисления. Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития
математики и связаны с методом исчерпывания, разработанным математиками Древней
Греции. Этот метод возник при решении задач на вычисление площадей плоских фигур и
поверхностей, объемов тел, некоторых задач статики и гидродинамики. Он основан на
аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами,
составленными из простейших фигур или пространственных тел (прямоугольников,
параллелепипедов, цилиндров и т. п.). В этом смысле метод исчерпывания можно
рассматривать как античный интегральный метод. Наибольшее развитие метод
исчерпывания в древнюю эпоху получил в работах Евдокса (4 в. до н. э.) и особенно
Архимеда (3 в. до н. э.). Дальнейшее его применение и совершенствование связано с
именами многих ученых 15–17 вв.
Основные понятия, теория и приложения интегрального исчисления были разработаны
И. Ньютоном и Г. Лейбницем в конце 17 в. Существенную роль в создании интегрального
исчисления в 18 в. сыграли работы Л. Эйлера, Я. и И. Бернулли, Ж. Лагранжа. В 19 в. в связи
с появлением понятия предела интегральное исчисление приобрело логически завершенную
форму в работах О. Коши, Б. Римана и др. Разработка теории и методов интегрального
исчисления происходила и в конце 19 в. и в 20 в.
7.1. Неопределенный интеграл
7.1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
Определение 7.1.1. Пусть на отрезке
];[ ba
задана функция
)(xf
. Функция
)(xF
называется первообразной от функции )(xf на отрезке ];[ ba , если во всех точках этого
отрезка )()( xfxF
.
Теорема 7.1.1. Любые две первообразные )(xF и )(x
от данной функции отличаются
друг от друга на произвольную постоянную С, т. е. )(x
=)(xF +С.
Определение 7.1.2. Совокупность всех первообразных функции )(xf называется
неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом
dxxf )( . Функция
)(xf называется подынтегральной функцией, дифференциал dxxf )( – подынтегральным
выражением.
Таким образом, по определению
];[,)()( baxCxFdxxf
,
где
)(xF – одна из возможных первообразных от функции )(xf на отрезке ];[ ba .
Теорема 7.1.2. Если функция непрерывна на отрезке ];[ ba , то для нее существует
первообразная (а значит, и неопределенный интеграл).
Определение 7.1.3. Операция восстановления функций по ее производной, или, что то
же самое, нахождение неопределенного интеграла от данной подынтегральной функции,
называется интегрированием этой функции.
Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.
Поэтому правильность результата интегрирования проверяется дифференцированием
найденной первообразной.

Страницы