Высшая математика. Анкилов А.В - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

99
Рассматривая эти значения
y
как
значения аргумента, а значения
x
как значения
функции, получаем
x
как функцию
y
:
ygx
. Эта функция называется обратной
для функции )(xfy
. Из определения следует,
что
xxfgyygf
, .
Заметим, что область определения
обратной функции
)( ygx
является областью
значений прямой функции
)(xfy
(т. е.
множество Y), а область значений обратной
функции
ygx
является областью
определения прямой функции

xfy (т. е.
множество X).
)(xfy
(прямая функция)
)( ygx
(обратная функция)
Область определения
множество X множество Y
Область значений
множество Y множество X
Графики функций )(xfy
и )( ygx
совпадают.
Если же переобозначить аргумент и значение функции g, как обычно, через x и y
соответственно, то получим функцию )(xgy
, график которой симметричен графику
функции )(xfy относительно биссектрисы I и III координатных углов (т. е. прямой
x
y
).
Теорема 4.4.1. Если функция )(xfy
определена и возрастает (или убывает) на
множестве
X
и областью ее значений является множество
Y
, то у нее существует обратная
функция, причем обратная функция определена и возрастает (или убывает) на
Y
.
Пример 4.4.3. Пусть
x
y 2 – прямая функция. Найти обратную ей функцию.
Решение.
1.
Область определения функции:
x
y 2 :
xxDX :)(.
2. Область значений функции:
x
y 2 :
yyEY 0:)(.
3. Функция
x
y 2 возрастает на множестве
X
, значит, у нее есть обратная функция.
4. Выразим из выражения
x
y 2 переменную x: yx
2
log
.
5. Переобозначим переменные x и y и получим xy
2
log
, область определения
которой
 xxDX 0:)(
(область значения функции
x
y 2 ), а область значений –
 yyEY :)(
(область определения функции
x
y 2 ). Таким образом, xy
2
log
будет обратной функцией для функции
x
y 2 . График функции xy
2
log симметричен
относительно прямой
x
y
графику функции
x
y 2 (рис. 4.6).
Рис. 4.5. Взаимно однозначная функция

Страницы