Основы научных исследований. Анкудинов И.Г - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Метод простых итераций. Для реализации этого метода исходное уравнение
f(x) = 0 предварительно преобразуется к виду x=
ϕ
(x). Обычно это можно
осуществить несколькими способами. Выбрав начальное приближение x
0
(произвольно или, исходя из каких-либо разумных соображений), реализуют
следующий итерационный процесс: x
1
=
ϕ
(x
0
) , x
2
=
ϕ
(x
1
), и т.д.
Ход итерационного процесса удобно представить графически. На рис.3.2
построены графики левой и правой (в общем виде) частей уравнения x=
ϕ
(x),
соответственно y=x и y=
ϕ
(x). Абсцисса точки пересечения этих графиков и
есть искомое решение. Ход итерационного процесса в данном случае
представляется в виде спирали, закручивающейся в точку решения. Для
другого конкретного вида функции y=
ϕ
(x) процесс мог бы представлять
собой пошаговый подъем (спуск) к точке решения. Итерационный процесс
останавливается, если достигнута заданная точность вычисления корня
уравнения, т.е. при условии ⏐x
n+1
– x
n
⏐ <
ε
.
x
0
x
2
x
3
x
1
x
Рис.3.2
y y=x
y=
ϕ
(x)
Отметим, что в зависимости от выбора начального приближения и
конкретного вида функции
ϕ
(x) итерационный процесс может, как
приближаться к корню (в этом случае говорят, что итерационный процесс
сходится), так и удаляться от него (процесс расходится).
Пример 3.2. Применим метод простых итераций для решения того же
уравнения (3.1). Для этого представим его в виде
()
x
x
ln14
3
−
=
. (3.2)
Начнем итерационный процесс из точки, находящейся левее меньшего корня,
например x
0
= 0,1. Получим следующий ряд значений: x
1
= 0,22709, x
2
=
0,30213, x
3
= 0,34139 и т.д., который сходится к меньшему корню уравнения.
При заданной точности вычислений
ε
=10
-4
итерационный процесс
остановится при
x
12
= 0,38231. Если выбрать начальное приближение между корнями,
например x
0
= 1, то итерационный процесс также сходится к меньшему
корню. Однако если стартовать из точки, находящейся правее большего
корня, например x
0
= 1,8 , итерационный процесс удаляется от корня, т.е.
расходится.
Чтобы определить больший корень необходимо использовать другое
представление x=
ϕ
(x) исходного уравнения, в виде

Страницы