Основы научных исследований. Анкудинов И.Г - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

много методов альтернативного аналитическому – так называемого,
численного решения уравнений: метод половинного деления, метод простых
итераций, метод Ньютона, метод градиентного спуска и другие. Два
последних из них применимы и для решения систем уравнений. По-
видимому, некоторые численные методы уже известны студентам,
изучающим дисциплину "Основы научных исследований".
Авторы решили посвятить одну из глав данного учебного пособия
численному решению уравнений,
поскольку эта задача несет в себе элементы
научного исследования.
Реализацию численного метода (мы будем рассматривать одно уравнение f(x)
= 0, имеющее один или несколько раздельных корней) методически удобно
представить в виде трех этапов:
Выбор начального приближения x
0
.
Итерационный процесс, в котором многократно реализуется алгоритм
расчета приближения x
n+1
, исходя их уже известного приближения x
n
, т.е. по
x
0
рассчитывается x
1
, по x
1
рассчитывается x
2
и т.д. Итерационный процесс,
по сути, определяет тот или иной метод численного решения.
Остановка итерационного процесса при выполнении некоторого условия.
Необходимо отметить, что, в отличие от аналитического решения уравнения,
когда корень уравнения определяется точно в виде числа, при численном
решении корень уравнения может быть вычислен только с некоторой
неопределенностью.
Рассмотрим
алгоритмы, которые реализуются в различных итерационных
процессах.
Метод половинного деления. Выбор начального приближения состоит в том,
чтобы задать границы x
min
и x
max
конечного интервала значений x, в котором
находится корень уравнения (только один корень уравнения для случая
нескольких корней). Поскольку действительное положение корня уравнения
внутри интервала неизвестно, примем (рис.3.1) в качестве начального
приближения точку, соответствующую середине интервала
x
0
= 0,5(x
min
+ x
max
).
Цикл (шаг) итерационного процесса состоит в том, чтобы определить в какой
половине интервала – левой или правой – находится значение корня. Для
этого вычисляются значения функции в точках x
min
и x
0
, соответственно f
(x
min
) и f (x
0
). Далее производится сравнение знаков величин f (x
min
) и f (x
0
):
x
1
f(x
max
) f(x
0
)
f(x
min
)
x
x
0
x
max
x
min
Рис. 3.1

Страницы