Основы научных исследований. Анкудинов И.Г - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

если эти знаки разные, то функция изменила знак на левой половине
исходного интервала между x=x
min
и x = x
0
. Корень уравнения следует далее
искать на левой половине интервала (такая ситуация представлена на
рис.3.1). Первое приближение значения корня отображается точкой x
1
;
если эти знаки одинаковые, то функция не имеет корня на левой половине
исходного интервала, и его следует далее искать на правой половине между x
= x
0
и x = x
max
.
Таким образом, за один шаг исходный интервал поиска корня уравнения
уменьшается в два раза. В приведенном примере – это интервал x
min
< x < x
0
.
Новым приближением для корня будет значение x= x
1
. Описанный цикл
итерационного процесса повторяется многократно.
Условие остановки итерационного процесса может быть сформулировано
несколькими способами:
n = n
max
, где n
max
- заранее установленное максимальное число шагов
итерационного процесса. Это условие может применяться при ограниченных
ресурсах времени на решение;
(x
max
– x
min
) <
ε
, где
ε
- требуемая точность вычисления корня уравнения
определяется, исходя из условий дальнейшего практического использования
полученного решения.
Пример 3.1. Применим метод половинного деления для решения уравнения
(3.1) с точностью
ε
= 10
-4
.
04
3
ln4)( =−+=
x
xxf
(3.1)
Чтобы корректно применить метод половинного деления, необходимо
предварительно выбрать интервал значений x, на котором находится только
один корень уравнения. Для этого рекомендуем самостоятельно построить
примерный график функции f(x), из которого станет ясно, что функция имеет
два корня x≈0,5 и x ≈2,0. С учетом области определения функции (x >0)
выберем исходный интервал
для поиска меньшего корня с границами x
min
=
0,1 и x
max
=1,0. Результаты расчетов по итерационному алгоритму приведены
в табл.3.1. Значение функции в точке, где вычисления были остановлены,
составляет f (0,38238)=2,4⋅10
-4
.
Таблица 3.1
n
0 1 2 3 4 ..
.
14
x
n
0,45 0,275 0,362
5
0,4062
5
0,3848
6
..
.
0,3823
8
Для определения большего корня можно взять исходный интервал,
например, с границами x
min
= 1,5 и x
max
=2,5. Итерационный процесс
остановится на 14-м шаге при x = 1,78629.
Отметим, что при некорректном выборе начального приближения, например
x
min
= 0,1 и x
max
=5,0 , когда при первом же шаге итерационного процесса оба
корня оказываются в левой половине исходного интервала поиска, будет
получено неверное решение x = 4,9996.

Страницы