Составители:
Рубрика:
x
ex
4
3
1−
=
. (3.3)
Рекомендуем читателю убедиться в этом самостоятельно.
Метод Ньютона. Теоретической основой данного метода является
разложение функции в окрестности некоторой точки в ряд Тейлора (см.
раздел 2.1). Если в этом разложении ограничиться только двумя слагаемыми,
то получим следующую приближенную формулу
() ( ) ( ) ( )
000
xfxxxfxf
′
−+≈
. (3.4)
Применив (3.4) для окрестности корня функции f(x), т.е. при f(x)= 0, получим
формулу, описывающую первый шаг итерационного процесса Ньютона
()
()
0
0
01
xf
xf
xx
′
−=
. (3.5)
0
x
2
x
1
x
0
x
Рис.3.3
y
y=f(x)
Суть метода Ньютона иллюстрирует рис.3.3. Графически расчет по формуле
(3.5) эквивалентен поиску точки x
1
пересечения оси абсцисс и касательной к
графику функции f(x), проведенной в точке x
0
. В связи с этим метод Ньютона
часто называют методом касательных. Из рис. 3.3 видно, что итерационный
процесс быстро сходится к корню уравнения.
Пример 3.3. Применим метод Ньютона для решения уравнения (3.1).
Вычислим первую производную исходной функции, которая будет далее
использована в итерационном процессе
()
2
0
34
xx
xf −=
′
. (3.6)
Примем x
0
=1, тогда по формулам (3.5) и (3.6) последовательно получим x
1
=2,
x
2
=1,782, x
3
=1,78627, x
4
=1,7862716, после чего процесс остановится,
поскольку будет достигнута заданная точность вычислений. Рекомендуем
читателю самостоятельно найти меньший корень уравнения, стартовав из
точки x
0
=0,1.
Как видно из приведенного примера, метод Ньютона обладает очень высокой
скоростью сходимости. Однако, при его использовании очень важен удачный
выбор начального приближения. Действительно, если начать итерационный
процесс из точки, где производная f
′
(x
0
) мала по абсолютной величине, то,
согласно формуле (3.5), следующее приближение x
1
может сильно отличаться
от x
0
и даже выйти за пределы области определения функции. Попробуйте в
этом убедиться, начав итерационный процесс из точки x
0
=10.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
