Основы научных исследований. Анкудинов И.Г - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

U (x
0
, y
0
) = (x
0
y
0
+ y
0
2
– 3)
2
+ (x
0
2
– 3x
0
y
0
+ 2)
2
= 481
U
x
′
(x
0
, y
0
) = 2(x
0
y
0
+ y
0
2
– 3)
y
0
+ 2(x
0
2
– 3x
0
y
0
+ 2)(2x
0
– 3y
0
) = 186
U
y
′
(x
0
, y
0
) =2(x
0
y
0
+ y
0
2
– 3)(x
0
+ 2y
0
)
+ 2(x
0
2
– 3x
0
y
0
+ 2)(– 3x
0
)= 558
Частные производные могут быть вычислены аналитически, как в данном
случае, или численно с помощью ЭВМ. Численный расчет основан на
математическом определении производной как отношения приращения
функции к вызвавшему его бесконечно малому приращению аргумента
(естественно, используется конечное малое приращение аргумента, например
∆
x =
∆
y =10
-6
).
Вычислим проекции единичного вектора градиента функции U, используя
значения частных производных,
grad
x
U = U
x
′
/ (U
x
′
2
+ U
y
′
2
) = 0,316
grad
y
U = U
y
′
/ (U
x
′
2
+ U
y
′
2
) = 0,949
Примем значение нормирующего множителя
λ
= 1,0. Тогда по формуле (3.9)
получим первое приближение x
1
= 2,684 и
y
1
= 2,051. Необходимо убедиться, что перемещение из точки (x
0
,y
0
)
в точку
(x
1
,y
1
)
действительно привело к уменьшению текущего значения функции U.
Для этого вычислим U(x
1
,y
1
) = 98,6 , т.е. выполняется условие U(x
1
,y
1
) <
U(x
0
,y
0
). В противном случае следовало бы уменьшить, например в два раза,
множитель
λ
и снова сделать шаг в выбранном направлении.
Дальнейший ход решения представлен в таблице 3.2. Шаги, помеченные
звездочкой, сопровождались уменьшением амплитуды шага. Точное решение
исходной системы x = 2, y = 1.
Таблица 3.2
n x
n
y
n
U
λ
0 3,000 3,000 481
1 2,684 2,051 98,6 1,0
2 * 2,500 1,068 0,72 1,0
3 2,457 1,016 0,61 0,0625
10 2,259 1,047 0,088 0,0625
20 2,112 1,037 0,058 0,0625
30 2,045 1,033 0,054 0,0625
35 * 2,029 1,001
7,5⋅10
-4
3,1⋅10
-2
37 1,9982 0,9998
7,2⋅10
-6
3,9⋅10
-3
38 * 1,9983 1,0000
6,0⋅10
-6
2,4⋅10
-4
Приведенные примеры показывают, что освоение численных методов
решения уравнений полезно при изучении данной дисциплины, поскольку
включает элементы научного исследования:
предварительное качественное исследование задачи;
выбор варианта решения;
выбор начального приближения;
разумная остановка решения;
при неудачном исходе решения – анализ результатов и изменение
параметров метода решения или замена метода.

Страницы