ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
55
тированы в зависимости от содержания ряда динамики. Их
можно характеризовать как : параметр а
0
– уровень ряда
при t= 0, параметр a
1
– скорость роста, параметр а
2
– уско-
рение роста, параметр а
3
– изменение ускорения.
Действительно, полином первой степени на графи-
ке представляет прямую, т.е. предполагается постоянство
приростов ординат.
y
t
= a
0
+а
1
t, (3.2)
y
t
(0)= a
0,
(1)
tt-10101
=y - y = a +a t - a -a t +a1 = a1 =const.
t
u
(2)
0
t
u
=
Линейная зависимость может иметь место в процес-
сах экстенсивного развития, однако это не может происхо-
дить в течение длительного периода. Со временем скорость
изменяется и либо происходит ускорение, либо спад.
Полином второй степени характеризует динамику с
равномерными приростами, положительными для одной
ветви параболы и отрицательными для другой. Легко пока-
зать, что приросты (первые конечные разности ординат па-
раболы) могут быть охарактеризованы уравнением прямой:
(1) 2 2
t t t-1 0 1 2 0 1 12 12 2
u =y - y = a +a t +a t - a - a t + a -a (t-1) =(a -a )+2a t.
Соответственно приросты второго порядка (вторые
разности) постоянны:
(2) (1) (1)
12
2.
ttt
uuu a
−
=− =
Парабола второй степени применима для описания
процессов, характеризующихся равноускоренным ростом
или равноускоренным снижением. Если параметр
a
2
>0
, то
ветви направлены вверх, функция имеет минимум. Если
a
2
<
0
, то ветви направлены вниз и парабола имеет макси-
мум. Параметры
a
0
и a
1
не влияют на форму кривой, а
только определяют ее положение в пространстве.
У параболы третьей степени знак прироста ординат
может меняться один или два раза. Первые разности орди-
56
нат при нанесении на график представляют собой ордина-
ты параболы второго порядка, т.е.
(1) 2
123 2 3 3
()(23)3
t
uaaa aatat=−++ − + .
Вторые разности изменяются линейно:
(2)
23 3
(2 6 ) 6
t
uaaat=−+.
Разности третьего порядка являются постоянными:
(3)
3
6
t
ua= .
Простая
экспоненциальная кривая является показа-
тельной функцией и имеет следующий вид:
t
t
yab= . (3.3)
Кривая характеризуется постоянными темпами рос-
та и прироста. Темп роста будет равен
1
t
р
t
ab
b const
ab
τ
−
===, темп прироста равен
1
1
1
tt
пр
t
ab ab
b const
ab
τ
−
−
−
==−=
. Если b >1, то функция явля-
ется возрастающей с ростом
t и убывающей при b<1. Лога-
рифмирование обеих частей функции (3.2) приводит к ли-
нейной зависимости от
t:
log log log
t
yatb
=
+ .
После обозначения
log a
α
=
и logb
β
=
получаем:
log
t
yt
α
β
=
+ .
Экспоненциальный характер наблюдается после
достижения определенного уровня присуще многим про-
цессам при достижении определенного уровня
Более сложной является зависимость, называемая
логарифмической параболой:
2
tt
t
yabc= . (3.4)
Логарифмирование обеих частей выражения приво-
дит к виду:
2
log log log log
t
yatbtc=+ + ,
тированы в зависимости от содержания ряда динамики. Их нат при нанесении на график представляют собой ордина-
можно характеризовать как : параметр а0 – уровень ряда ты параболы второго порядка, т.е.
при t= 0, параметр a1 – скорость роста, параметр а2 – уско- ut (1) = ( a1 − a2 + a3 ) + (2a2 − 3a3 )t + 3a3t 2 .
рение роста, параметр а3 – изменение ускорения. Вторые разности изменяются линейно:
Действительно, полином первой степени на графи-
ut (2) = (2a2 − 6a3 ) + 6a3t .
ке представляет прямую, т.е. предполагается постоянство
приростов ординат. Разности третьего порядка являются постоянными:
yt = a0 +а1t, (3.2) ut (3) = 6a3 .
yt (0)= a0, Простая экспоненциальная кривая является показа-
ut(1) =yt - yt-1= a0 +a1t - a0 -a1t +a1 = a1 =const. тельной функцией и имеет следующий вид:
ut (2) = 0 yt = abt . (3.3)
Линейная зависимость может иметь место в процес- Кривая характеризуется постоянными темпами рос-
сах экстенсивного развития, однако это не может происхо- та и прироста. Темп роста будет равен
t
дить в течение длительного периода. Со временем скорость ab
τ р = t −1 = b = const , темп прироста равен
изменяется и либо происходит ускорение, либо спад. ab
Полином второй степени характеризует динамику с abt − abt −1
равномерными приростами, положительными для одной τ пр = = b − 1 = const . Если b >1, то функция явля-
abt −1
ветви параболы и отрицательными для другой. Легко пока-
зать, что приросты (первые конечные разности ординат па- ется возрастающей с ростом t и убывающей при b<1. Лога-
раболы) могут быть охарактеризованы уравнением прямой: рифмирование обеих частей функции (3.2) приводит к ли-
нейной зависимости от t:
u t (1) =y t - y t-1 = a 0 +a1t +a 2 t 2 - a 0 - a1t + a1 -a 2 (t-1)2 =(a1 -a 2 )+2a 2 t. log yt = log a + t log b .
После обозначения α = log a и β = log b получаем:
Соответственно приросты второго порядка (вторые
разности) постоянны: log yt = α + β t .
ut (2) = ut (1) − ut −1(1) = 2a2 . Экспоненциальный характер наблюдается после
Парабола второй степени применима для описания достижения определенного уровня присуще многим про-
процессов, характеризующихся равноускоренным ростом цессам при достижении определенного уровня
Более сложной является зависимость, называемая
или равноускоренным снижением. Если параметр a2>0, то
логарифмической параболой:
ветви направлены вверх, функция имеет минимум. Если 2
a2< 0, то ветви направлены вниз и парабола имеет макси- yt = abt c t . (3.4)
мум. Параметры a0 и a1 не влияют на форму кривой, а Логарифмирование обеих частей выражения приво-
только определяют ее положение в пространстве. дит к виду:
У параболы третьей степени знак прироста ординат log yt = log a + t log b + t 2 log c ,
может меняться один или два раза. Первые разности орди-
55 56
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
