Методы прогнозирования социально-экономических процессов. Антохонова И.В. - 28 стр.

называемому логарифмической параболой. Темп прироста                         ut2       ut3             utn           ( k + abt ) − ( k + abt −1 )
этой кривой равен отношению первой производной к ор-                               =         = ... =            =                                  = b = const
                                                                             ut1       ut2             utn −1       (k + abt −1 ) − ( k + abt −2 )
динате (7, с.24). Поэтому темп прироста примет вид:
                         2              2                            .
              yt′ abt c t ln b + 2bt c t t ln c
        τ пр = =
            ∗
                                     2          = ln b + 2t ln c ,         А логарифмы приростов ординат кривой линейно
              yt             abt c t                                 зависят от переменной t. Действительно,
т.е. темп линейно зависит от времени.                                       ut = yt − yt −1 = abt −1 (b − 1) .
        Многочлены не имеют асимптот, а экспоненциаль-
                                                                           Откуда
ная и логарифмическая параболы имеют асимптоты. У экс-
                                                                            log ut = log a + log(b − 1) + (t − 1) log b .
поненциальной кривой yt → 0 при t → −∞ , если b >1, и
 yt → 0 при t → ∞ , если b<1.                                                В демографических расчетах и некоторых расчетах
       Достаточно        часто     динамика   социально-             в области страхового бизнеса используется S – образная
экономических процессов такова, что наблюдается тен-                 кривая, или кривая Гомперца:
денция замедления темпов роста и имеет место насыщение.                                                  t
                                                                                                yt = ka b .                         (3.6)
Например, расходы домохозяйств на продукты питания по
мере роста доходов характеризуются насыщением. В таких                       Наибольшее применение находит кривая, у которой
случаях кривая должна иметь асимптоту, отличную от ну-               log a < 0 и b < 1 . Траектория кривой имеет четыре различ-
ля. Такому условию удовлетворяет модифицированная экс-               ных этапа. На первом этапе прирост медленно увеличива-
понента. имеющая вид:                                                ется с ростом t , затем скорость возрастает, затем после
                    yt = k + abt .                 (3.5)             прохождения точки перегиба приросты начинают умень-
                                                                     шаться и, наконец, вблизи от асимптоты приросты снова
       Кривая отличается от обычной экспоненты сдвигом
                                                                     замедляются.
по оси ординат на величину k, поэтому имеет горизонталь-
                                                                             Кривая Гомперца имеет особенность: отношение
ную асимптоту y = k , ее линия стремится к асимптоте ли-
                                                                     последовательных приростов ординат в логарифмах посто-
бо при t → ∞ , либо при t → −∞ . Параметр а равен разно-             янно.
сти между ординатой кривой (при t = 0 ) и асимптотой. Ес-                    log yt +1 − log yt log a ⋅ (bt +1 − bt )
ли параметр а отрицателен, то асимптота находится выше                                         =                      = b = const .
кривой, если а положителен, то асимптота проходит ниже                       log yt − log yt −1 log a ⋅ (bt − bt −1 )
ее. Параметр b равен отношению последовательных при-                         Логарифмирование выражения (3.5) приводит к из-
ростов. Чаще всего встречается кривая с параметрами                  вестной модифицированной экспоненте:
а < 0 и b<1.                                                                 log yt = log k + bt log a .
       Особенность модифицированной экспоненты за-                           Для нахождения линейного преобразования харак-
ключается в том, что отношения последовательных при-                 теристик приростов и уровней относительно t можно опре-
ростов при равномерном распределении ординат по оси                  делить темп прироста с помощью производной:
времени постоянны:

                                                               57    58