Методы прогнозирования социально-экономических процессов. Антохонова И.В. - 42 стр.

   n                                     n                                                                                            Выражение (4.14) показывает, что сумма квадратов
 ∑ ( yt − y€t )2 = ∑ ( yt2 − 2 yt y€t + y€t2 ) =
  t =1                                  t =1
                                                                                                                               отклонений от линейного тренда меньше, чем от средней
          n
                                                                                                                               арифметической. Этим выражением можно воспользовать-
 = ∑  yt2 − 2 yt ( a + bt ) + ( a + bt ) 2  =                                                                    (4.13)    ся от определении характеристик колебаний вокруг тренда
         t =1                                                                                                                  до определения самого тренда.
          n                         n                                              n                  n                               Сумма квадратов отклонений от линий тренда, т.е
 = ∑ yt2 − 2a ∑ yt − 2byt t + a 2n + 2ab∑ t + b2 ∑ t 2
         t =1                   t =1                                              t =1            t =1                         ∑ ( yt − y€t )2 , и среднее квадратическое отклонение от
                Выражение (4.13) можно упростить, приняв начало                                                                тренда σ y (4.12) являются основой при определении сред-
                                                                             n
                                                                                                                               ней квадратической ошибки отдельных параметров урав-
отсчета в середине ряда, тогда                                           ∑ t = 0 . Параметры a и b
                                                                          t =1                                                 нения тренда и их доверительных интервалов, а также
для линейного тренда равны:                                                                                                    ошибки и доверительных интервалов тренда и прогноза.

                   a=
                       ∑  yt ∑ t 2 − ∑ t ∑ yt t                                                                                       Определение доверительных интервалов требует
                                                                                                                               учета отличия выборочных данных от уровней временного
                          n ∑ t 2 − (∑ t )2                                                                                    ряда. Предположение регрессионного анализа о нормаль-
                                                            n ∑ yt t − ∑ y t ∑ t                                               ности распределения отклонений вокруг линии регрессии
                                                       b=                                         .                            не может безоговорочно утверждаться при анализе вре-
                                                              n ∑ t 2 − (∑ t )2
                                                                                                                               менных рядов. Это осталось проблемой после дискуссий в
                                                                         n
                                                              При   ∑t = 0
                                                                        t =1
                                                                                                                               статистической науке в середине прошлого века.
                                                                                                                                      Получаемые параметры не свободны от погрешно-

                              a=
                                          ∑y       t
                                                       , b=   ∑yt .
                                                         (4.14)     t
                                                                                                                               сти, связанной с тем, что объем информации, на основе ко-
                                                                                                                               торой производится оценивание, ограничен и в некотором
                          n                                   ∑t    2
                                                                                                                               смысле представляет выборку. Смещение периода наблю-
                После упрощений выражение (4.13) имеет вид:                                                                    дения всего на единицу времени приводит к изменению
                                                                                                                               численных оценок параметров.
                                n
                                                                                 ( ∑ yt ) 2           ( ∑ yt t ) 2                    Доверительный интервал в общем виде для тренда
                           ∑           − ( yt − y€t ) = ∑ y −
                                                .       2           2
                                                                                                                               находится как
                              t =1n       ∑t2                       t

                                                                                                                                                            y€t ± tασ y€ ,
      Разность первых двух членов выражения справа
равна сумме квадратов отклонений от средней арифмети-                                                                          где σ y€ - средняя квадратическая ошибка тренда; y€t - рас-
                          n
                                                                                                                               четное значение y t ; tα - значение t-статистики Стьюдента.
ческой, т.е              ∑
                         t =1
                                        ( yt − y€t ) 2 . Тогда
                                                                                                                                         Экстраполяция на период (t+L) (L=1,2,... является
                   n
                                                                                  ( ∑ yt t ) 2                                 периодом             упреждения)      представляет    расчет
                 ∑( y               − y€t ) = ∑ ( yt − yt ) −
                                               2                         2
                                                                                                      .          (4.15)         yt + L = a + b(t + L) . Доверительный интервал для прогноза
                                                                                                                                €
                  t =1
                                t
                                                                                         ∑t   2

                                                                                                                               должен учитывать не только неопределенность, связанную
                                                                                                                               со спецификацией тренда, но и вероятность отклонений от
                                                                                                                          85   86