Численные методы: математический анализ и дифференциальные уравнения. Антоник В.Г. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

y
0
= f(x, y) , y(x
0
) = y
0
[x
0
, x
0
+ a]
y = y(x) y
0
[x
0
, x
0
+a] x
1
, x
2
,
. . . , x
n
x
i
= x
0
+ ih , h =
a
n
, i = 1, n .
h = x
i+1
−x
i
y
i
, i = 1, n
y
i
≈ y(x
i
), i = 1, n
y
1
, y
2
, . . . , y
n
x
i
r
i
= y(x
i
) − y
i
, i = 1, n
r
i
h
R = max
1≤i≤n
|r
i
|, R ≤ Ch
p
.
p
Ÿ3. ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè

   Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè âèäà

                    y 0 = f (x, y) , y(x0 ) = y0             (1)

íà îòðåçêå [x0 , x0 + a].
   Çäåñü y = y(x)  íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ, âåëè÷èíà y0
çàäàåò íà÷àëüíîå óñëîâèå.
       Íà îòðåçêå [x0 , x0 +a] ââåäåì ðàâíîìåðíóþ ñåòêó x1 , x2 ,
. . . , xn óçëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ:
                                      a
                xi = x0 + ih , h =      , i = 1, n .
                                      n
Âåëè÷èíà h = xi+1 −xi íàçûâàåòñÿ øàãîì èíòåãðèðîâàíèÿ.
   Îáîçíà÷èì ÷åðåç yi , i = 1, n ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çà-
äà÷è Êîøè (1), ïîëó÷åííîå íåêîòîðûì ÷èñëåííûì ìåòî-
äîì, â óçëàõ èíòåãðèðîâàíèÿ: yi ≈ y(xi ), i = 1, n. Â ðåçóëü-
òàòå òî÷íîå ðåøåíèå àïïðîêñèìèðóåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî-
ñòüþ òî÷åê y1 , y2 , . . . , yn .
   Ïîãðåøíîñòü ìåòîäà â óçëå xi îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåí-
ñòâîì ri = y(xi ) − yi , i = 1, n.
   Ïîãðåøíîñòü ri îöåíèâàþò â çàâèñèìîñòè îò øàãà h.
   Ãëîáàëüíàÿ îöåíêà ïîãðåøíîñòè õàðàêòåðèçóåòñÿ ñîîò-
íîøåíèÿìè
                R = max |ri | , R ≤ Chp .
                        1≤i≤n

Çäåñü p  ïîðÿäîê òî÷íîñòè ìåòîäà.

                                42

Страницы