Численные методы: математический анализ и дифференциальные уравнения. Антоник В.Г. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

y
1
R ∼ O(h
2
)
y
0
= −xy , y(0) = 1 , x ∈ [0, 2]
n = 4
x
0
= 0, y
0
= 1, a = 2, f(x, y) = −xy, h =
a
n
=
1
2
.
x
i
= 0 +
1
2
i =
i
2
, i = 0, 4 .
y
i+1
= y
i
− hx
i
y
i
, i = 0, 3 .
y
1
= y
0
− hx
0
y
0
= 1 −
1
2
· 0 · 1 = 1 ,
y
2
= y
1
− hx
1
y
1
= 1 −
1
2
·
1
2
· 1 = 0.75 ,
y
3
= y
2
− hx
2
y
2
=
3
4
−
1
2
· 1 ·
3
4
= 0.375 ,
Íåäîñòàþùåå çíà÷åíèå y1 íåîáõîäèìî èñêàòü äðóãèì ÷èñ-
ëåííûì ìåòîäîì (íàïðèìåð, ÿâíûì ìåòîäîì Ýéëåðà).
  Ïîðÿäîê òî÷íîñòè ìåòîäà  âòîðîé: R ∼ O(h2 ).

  Ïðèìåð 1. Äëÿ çàäà÷è Êîøè
             y 0 = −xy , y(0) = 1 , x ∈ [0, 2]

íàéòè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ÿâíûì è íåÿâíûì ìåòîäàìè
Ýéëåðà, ïîëàãàÿ n = 4.
  Ðåøåíèå.
  Ïîíÿòíî, ÷òî çäåñü
                                                 a  1
    x0 = 0, y0 = 1, a = 2, f (x, y) = −xy, h =     = .
                                                 n  2
Ïîñòðîèì ñåòêó
                         1   i
                 xi = 0 + i = , i = 0, 4 .
                         2   2

    Ïðîâåäåì âû÷èñëåíèÿ, èñïîëüçóÿ ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà
(2):
               yi+1 = yi − hxi yi , i = 0, 3 .
 ðåçóëüòàòå èìååì
                                    1
           y1 = y0 − hx0 y0 = 1 −     · 0 · 1 = 1,
                                    2
                             1 1
         y2 = y1 − hx1 y1 = 1 −· · 1 = 0.75 ,
                             2 2
                           3 1     3
         y3 = y2 − hx2 y2 = − · 1 · = 0.375 ,
                           4 2     4

                            44

Страницы