Динамика атмосферы. Аргучинцев В.К. - 58 стр.

                                                                 ∆t
                                                            t+
                                                1 2
                                            ϕ =       ∫ ϕ (t )dt .                                  (2.5.1)
                                                ∆t t − ∆2 t


      Определим среднее значение суммы двух функций ϕ1 и ϕ 2

                                       ∆t                                      ∆t              ∆t
                                  t+                                      t+              t+
                                 1 2                      1 2         1 2
                      ϕ 1 + ϕ 2 = ∫[ϕ1(t ) + ϕ2 (t )]d t = ∫ϕ1(t )dt + ∫ϕ2(t )dt
                                 ∆t t − ∆2 t              ∆t t − ∆ t  ∆t t − ∆ t
                                                                               2               2




или

                                            ϕ +ϕ = ϕ +ϕ .
                                             1          2             1        2




      В случае n функций, имеем

                                                  n               n

                                             ∑ϕ = ∑ϕ
                                                 i =1
                                                        i
                                                                 i =1
                                                                          i
                                                                               .                    (2.5.2)


      Так как порядок операций усреднения и пространственного дифференцирования может
быть изменен, то справедливы следующие соотношения


                           ∂ϕ ∂ ϕ                 ∂ϕ ∂ ϕ 
                                             ∂ϕ ∂ ϕ
                             =    ;            =    ;=      
                           ∂x ∂x             ∂y ∂y∂z ∂z 
                                                            .                                      (2.5.3)
                           ∂ 2ϕ ∂ 2 ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2 ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2 ϕ 
                               =     ;    =     ;    =
                           ∂x 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 2 ∂ z2 ∂ z2 

      Среднее значение производных по координатам, равняется соответствующим производным
от средних значений дифференцируемой функции.
      Из соотношений (2.5.2) и (2.5.3) следует, что средние значения градиента, дивергенции,
вихря и лапласиана от какой-либо функции равняются соответственно градиенту, дивергенции,
вихрю и лапласиану от среднего значения данной функции:

                            r      r      r      r
        gradϕ = grad ϕ ; divV = divV ; rotV = rotV ;                                ∇2 ϕ = ∇2 ϕ .   (2.5.4)


      Рассмотрим теперь отклонение ϕ ' от среднего значения функции


                                                   ϕ '= ϕ − ϕ .                                     (2.5.5)

      Применяя к этому выражению правило осреднения суммы или разности, находим
                                              58