Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 279 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

z ∈ C
1
z
∗
z
∀(a ∈ R
1
, b ∈ R
1
) : z = a + ib , z
∗
= a − ib.
L
< , > : L × L → C
1
,
∀(a ∈ L , b ∈ L , c ∈ L , α ∈ C
1
, β ∈ C
1
), :
< c , αa + βb >= α < c , a > +β < c , b > .
∀(a ∈ L , b ∈ L) : < a , b >=< b , a >
∗
.
∀(a ∈ L) : < a , a >≥ 0 , (< a , a >= 0) ⇐⇒ (a = 0).
Ãëàâà 4


Ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà.



4.1     Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ.

Ìû ðàññìàòðèâàåì ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷è-
ñåë (åñëè ÿâíî íå îãîâîðåíî äðóãîå) è åñëè z ∈ C1 , òî ñèìâîë z ∗ îáîçíà-
÷àåò ÷èñëî, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîå ÷èñëó z :

               ∀ (a ∈ R1 , b ∈ R1 ) : z = a + ib , z ∗ = a − ib.

4.1.1    Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìà.

Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L -ýòî ôóíêöèÿ

                          < ,     > : L × L → C1 ,

êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì àêñèîìàì.
   1. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíî ïî âòîðîìó àðãóìåíòó:

               ∀ (a ∈ L , b ∈ L , c ∈ L , α ∈ C1 , β ∈ C1 ), :
               < c , αa + βb >= α < c , a > +β < c , b > .

2. Ñêàëÿðíîå ïðîèèçâåäåíèå êîñîñèììåòðè÷íî:

                ∀ (a ∈ L , b ∈ L) : < a , b >=< b , a >∗ .

3. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íå âûðîæäåíî:

         ∀(a ∈ L) : < a , a >≥ 0 , (< a , a >= 0) ⇐⇒ (a = 0).

Îïðåäåëåíèå 4.1.1. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âìåñòå ñ îïðåäåëåííûì íà
íåì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèì íàçûâàåòñÿ óíèòàðíûì ïðîñòðàíñòâîì.

                                     267

Страницы