Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 281 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

! < a + b , a + b >=< a , a > + < b , b > +2Re < a , b > ≤
< a , a > + < b , b > +2(< a , a >< b , b >)
1/2
=
((< a , a >)
1/2
+ (< b , b >)
1/2
)
2
.
ka + bk ≤ kak + kbk.
kak =< a , a >
1/2
∀(x ∈ H , y ∈ H) : kx + yk
2
+ kx − yk
2
= 2(kxk
2
+ kyk
2
).
| < a , b > | ≤ kak · kbk.
k ⊕
X
j
a
j
k
2
=
X
j
ka
j
k
2
.
kxk = sup{| < y , x > | | kyk ≤ 1}.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Íåâûðîæäåííîñòü è îäíîðîäíîñòü ôóíêöèè (4.2) î÷å-
âèäíû. Äîêàæåì íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà. Èìååì:

       ! < a + b , a + b >=< a , a > + < b , b > +2Re < a , b > ≤
         < a , a > + < b , b > +2(< a , a >< b , b >)1/2 =
        ((< a , a >)1/2 + (< b , b >)1/2 )2 .

Ñëåäîâàòåëüíî,
                            ka + bk ≤ kak + kbk.
Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.

Îïðåäåëåíèå 4.1.2. Óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî âìåñòå ñ îïðåäåëåííîé íà
íåì íîðìîé
                              kak =< a , a >1/2                     (4.3)
íàçûâàåòñÿ ïðåäãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì.

   Âû÷èñëåíèåì ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì (4.3) íîðìà
óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó ïàðàëëåëîãàììà:

     ∀(x ∈ H , y ∈ H) : kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ).      (4.4)

 ïðåäãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå íåðàâåíñòâî (4.1) ìîæåò áûòü çàïèñà-
íî â âèäå
                      | < a , b > | ≤ kak · kbk.                (4.5)
 äåéñòâèòåëüíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ýòî íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò,
÷òî ìîäóëü êîñèíóñà óãëà ìåíüøå èëè ðàâåí åäèíèöå.
   Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ïðÿìîé ñóììå óíèòàðíûõ ïðîñòðàíñòâ ïî-
ðîæäàåò íîðìó             X           X
                       k⊕    aj k 2 =   kaj k2 .
                                j               j

  Èç îïðåäåëåíèÿ íîðìû â óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå è íåðàâåíñòâà Êîøè-
Áóíÿêîâñêîãî âûòåêàåò î÷åâèäíàÿ

Ëåììà 4.1.1. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                    kxk = sup{| < y , x > | | kyk ≤ 1}.             (4.6)

Îïðåäåëåíèå 4.1.3. Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî -ýòî ïðåäãèëüáåðòîâî
ïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå åñòü áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî (ò. å. ïîëíîå íîðìè-
ðîâàííîå ïðîñòàíñòâî) îòíîñèòåëüíî íîðìû (4.3).

                                      269

Страницы