Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 283 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

l
2
αa + βb = {αa
j
+ βb
j
}.
l
2
< a , b >=
X
1≤j<∞
a
∗
j
b
j
.
l
2
f , g H
f⊥g
< f , g >= 0.
{e
j
| j ∈ I} ⊂ H
H
< e
i
, e
j
>= δ
i
j
, ∀(i 6= j) : δ
i
j
= 0 , ∀i : δ
i
i
= 1.
l
2
e
j
, j =
1 . . . j
e
j
= {0 , 0 . . . 0 , 1 , 0 . . .}.
L
2
([0 , 1] , dx)
e
0
(x) = 1 , e
2j
(x) =
√
2 cos(2πjx) , e
2j+1
(x) =
√
2 sin(2πjx) , j = 1 . . .
{e
j
| j ∈ I} ⊂ H
< e
j
, f >
f ∈ H
{e
j
}
   Ñòðóêòóðà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íà l2 çàäàåòñÿ ôîðìóëîé

                            αa + βb = {αaj + βbj }.

Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà ïðîñòðàíñòâå l2 çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
                                  X
                       < a , b >=      a∗j bj .
                                           1≤j<∞


Ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà l2 åñòü ñëåäñòâèå òåîðåìû Ðèññà-Ôèøåðà 1.1.6 (ñì.
ñòð. 43), òàê êàê ñóììó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê èíòåãðàë ïî ìåðå,
íîñèòåëü êîòîðîé åñòü ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë.

4.1.2    Îðòîíîðìèðîâàííûå ñèñòåìû.

Îïðåäåëåíèå 4.1.4. Ýëåìåíòû f , g ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H îðòî-
ãîíàëüíû (îáîçíà÷åíèå: f ⊥g ), åñëè

                                  < f , g >= 0.

Îïðåäåëåíèå 4.1.5. Ñèñòåìà ýëåìåíòîâ {e j | j ∈ I} ⊂ H ãèëüáåðòîâà
ïðîñòðàíñòâà H íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé, åñëè

               < ei , ej >= δji , ∀(i 6= j) : δji = 0 , ∀i : δii = 1.

     Ïðèâåäåì ïðèìåðû îðòîíîðìèðîâàííûõ ñèñòåì.
     Â ïðîñòðàíñòâå l2 îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó ýëåìåíòîâ ej , j =
1 . . . ñîñòàâëÿþò âåêòîðû, ó êîòîðûõ êîîðäèíàòà ñ íîìåðîì j ðàâíà åäè-
íèöå, à âñå îñòàëüíûå êîîðäèíàòû ðàâíû íóëþ:

                          ej = {0 , 0 . . . 0 , 1 , 0 . . .}.

 ïðîñòðàíñòâå L2 ([0 , 1] , dx) îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó ýëåìåíòîâ ñî-
ñòàâëÿþò âåêòîðû
                        √                         √
  e0 (x) = 1 , e2j (x) = 2 cos(2πjx) , e2j+1 (x) = 2 sin(2πjx) , j = 1 . . .

Îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà íå îáÿçàòåëüíî ñ÷åòíà.

Îïðåäåëåíèå 4.1.6. Åñëè {e       j   | j ∈ I} ⊂ H -îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà
ýëåìåíòîâ, òî ÷èñëà
                                     < ej , f >
íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå ýëåìåíòà f ∈ H ïî îðòîíîðìèðî-
âàííîé ñèñòåìå {ej }.

                                         271

Страницы