Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 285 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{e
j
| 1 ≤ j < ∞}
∀α
j
: kf −
X
1≤j≤n
< e
j
, f > e
j
k ≤ kf −
X
1≤j≤n
α
j
e
j
k.
X
1≤j<∞
| < e
j
, f > |
2
≤ kfk
2
.
f ∈ H
X
j
< e
j
, f > e
j
H
{e
j
|∈ I}
{e
j
|∈ I}
(∀e
j
: < e
j
, f >= 0) ⇒ (f = 0).
∀(f ∈ H) : kfk
2
=
X
1≤j<∞
| < e
j
, f > |
2
.
f ∈ H
{e
j
| 1 ≤ j < ∞} f = 0
{e
j
| 1 ≤ j < ∞}
f ∈ H
g = f −
X
1≤j<∞
< e
j
, f > e
j
{e
j
| 1 ≤ j < ∞}
{e
j
| 1 ≤ j < ∞} g = 0 g = 0
f
0 = kfk
2
−
X
1≤j<∞
| < e
j
, f > |
2
.
   Èç ýòîãî ðàâåíñòâà âûòåêàåò

Ñëåäñòâèå 4.1.1. Åñëè {e     j   | 1 ≤ j < ∞}     -îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà
ýëåìåíòîâ, òî ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà:
                         X                                  X
           ∀αj : kf −            < ej , f > ej k ≤ kf −            αj ej k.        (4.9)
                        1≤j≤n                              1≤j≤n
             X
                   | < ej , f > |2 ≤ kf k2 .                                      (4.10)
           1≤j<∞


   Íåðàâåíñòâî (4.10) íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì Áåññåëÿ.
   Èç íåðàâåíñòâà Áåññåëÿ ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé îðòîíîðìèðîâàííîé
ñèñòåìû è ëþáîãî f ∈ H ðÿä
                           X
                              < ej , f > ej
                                  j

ñõîäèòñÿ ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà H .

Îïðåäåëåíèå 4.1.7. Îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ýëåìåíòîâ {e     |∈ I}           j
íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè íå ñóùåñòâóåò îòëè÷íîãî îò íóëÿ âåêòîðà, êî-
òîðûé îðòîãîíàëåí âñåì âåêòîðàì ñèñòåìû {ej |∈ I}:

                     (∀ej : < ej , f >= 0) ⇒ (f = 0).

Ëåììà 4.1.4. Åñëè îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ñ÷åòíà, òî îíà ïîëíà
â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè
                                              X
                 ∀(f ∈ H) : kf k2 =               | < ej , f > |2 .               (4.11)
                                          1≤j<∞


   Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ýëåìåíò f ∈ H îðòîãîíàëåí âñåì ýëåìåíòàì
ñèñòåìû {ej | 1 ≤ j < ∞}, òî èç óñëîâèÿ (4.11) ñëåäóåò, ÷òî f = 0,
ïîýòîìó èç (4.11) ñëåäóåò ïîëíîòà ñèñòåìû {ej | 1 ≤ j < ∞}. Äëÿ ëþáîãî
f ∈ H ýëåìåíò                   X
                       g=f−          < ej , f > ej
                                      1≤j<∞

îðòîãîíàëåí âñåì ýëåìåíòàì ñèñòåìû {ej | 1 ≤ j < ∞}. Åñëè ñèñòåìà
{ej | 1 ≤ j < ∞} ïîëíà, òî g = 0. Óìíîæàÿ ðàâåíñòâî g = 0 ñêàëÿðíî íà
f , ïîëó÷èì ðàâåíñòâî
                                 X
                    0 = kf k2 −      | < ej , f > |2 .
                                      1≤j<∞


                                         273

Страницы