Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 287 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H
{e
j
|
1 ≤ j < ∞}
X
1≤j≤n
(a
j
+ ib
j
)e
j
, a
j
, b
j
− , n = 1 . . .
H
U ∈ L(H
1
7→ H
2
)
∀(f ∈ H
1
, g ∈ H
1
) : < Uf , Ug >
2
=< f , g >
1
.
U
∀(f ∈ H
1
) : kUf | H
2
k
2
= kf | H
1
k
2
.
kU(f + λg) | H
2
k
2
= k(f + λg) | H
1
k
2
λ
U
∃U
−1
: UU
−1
= U
−1
U = id.
H
{e
j
| 1 ≤ j < ∞}
l
2
U
∀(f ∈ H) : Uf = {< e
j
, f >| 1 ≤ j < ∞}.
Ñëåäîâàòåëüíî, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ (4.14) îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñè-
ñòåìà ïîëíà. Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòàíñòâå H
ñóùåñòâóåò ñ÷åòíàÿ ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ýëåìåíòîâ {ej |
1 ≤ j < ∞}. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ôóíêöèé âèäà
            X
                 (aj + ibj )ej , aj , bj − ðàöèîíàëüíû, n = 1 . . .
           1≤j≤n


Ýòî ìíîæåñòâî ñ÷åòíî è âñþäó ïëîòíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ãèëüáåðòîâî ïðî-
ñòðàíñòâî H ñåïàðàáåëüíî. Òåîðåìà äîêàçàíà.

Îïðåäåëåíèå 4.1.9. Îïåðàòîð
                             U ∈ L(H1 7→ H2 )

íàçûâàåòñÿ èçîìåòðè÷åñêèì, åñëè

             ∀(f ∈ H1 , g ∈ H1 ) : < U f , U g >2 =< f , g >1 .

Ëåììà 4.1.6. Îïåðàòîð U        åñòü èçîìåòðè÷åñêèé îïåðàòîð â òîì è
òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè

                   ∀(f ∈ H1 ) : kU f | H2 k2 = kf | H1 k2 .

   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî â ðàâåíñòâå

                   kU (f + λg) | H2 k2 = k(f + λg) | H1 k2

ïðèðàâíÿòü ñëàãàåìûå ñ ëèíåéíîé è ñîïðÿæåííî-ëèíåéíîé ïî λ ÷àñòüþ.

Îïðåäåëåíèå 4.1.10. Èçîìåòðè÷åñêèé îïåðàòîð U íàçûâàåòñÿ óíèòàð-
íûì, åñëè îí îáðàòèì:

                        ∃U −1 : U U −1 = U −1 U = id.

Òåîðåìà 4.1.4. Åñëè â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ñóùåñòâóåò ñ÷åò-
íàÿ ïîëíàÿ îòðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ýëåìåíòîâ               {ej | 1 ≤ j < ∞},
òî ñóùåñòâóåò óíèòàðíîå îòîáðàæåíèå ýòîãî ïðîñòðàíñòâà íà ïðî-
ñòðàíñòâî l2 .

   Äîêàçàòåëüñòâî. Îòîáðàæåíèå U ñòðîèòñÿ ïî ôîðìóëå

                 ∀(f ∈ H) : U f = {< ej , f >| 1 ≤ j < ∞}.

                                     275

Страницы