Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 286 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f → f + λg
λ
{e
j
| 1 ≤ j < ∞}
∀(f ∈ H , g ∈ H) : < f , g >=
X
1≤j<∞
< f , e
j
>< e
j
, g > .
H
{f
j
| 1 ≤ j < ∞}
H = Cl({f
j
| 1 ≤ j < ∞}).
H
{f
j
| 1 ≤ j < ∞}
{e
j
| 1 ≤ j < ∞}
∀n : {f
j
| 1 ≤ j ≤ n} ⊂ {e
j
| 1 ≤ j ≤ n}.
f ∈ H
f
n(j)
, 1 ≤ j < ∞
kf − f
n(j)
k → 0 , j → ∞.
f
n(j)
=
X
1≤i≤n(j)
α
(n(j) , i)
e
i
.
∀(n > n(j)) : kf −
X
1≤i≤n
< e
i
, f > e
i
k
2
≤
kf −
X
1≤i≤n(j)
α
(n(j) , i)
e
i
k
2
= kf − f
n(j)
k
2
→ 0 , j → ∞.
Ëåììà äîêàçàíà.
    Åñëè îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ñ÷åòíà, òî ïîëîæèâ â ðàâåíñòâå
(4.11)
                           f → f + λg
è ïðèðàâíÿâ ñëàãàåìûå ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ λ, ìû ïîëó÷èì
Ëåììà 4.1.5. Ñ÷åòíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà {e                        j   | 1 ≤ j < ∞}
ïîëíà â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè
                                              X
     ∀(f ∈ H , g ∈ H) : < f , g >=                      < f , ej >< ej , g > .     (4.12)
                                            1≤j<∞

   Ðàâåíñòâî (4.12) íàçûâàåòñÿ ðàâåíñòâîì Ïàðñåâàëÿ.
Îïðåäåëåíèå 4.1.8. Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî H ñåïàðàáåëüíî, åñëè â
íåì ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî, ò. å. òàêîå ìíîæåñòâî
{fj | 1 ≤ j < ∞}, ÷òî

                             H = Cl({fj | 1 ≤ j < ∞}).                             (4.13)

Òåîðåìà 4.1.3. Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñåïàðàáåëüíî â òîì è òîëü-
êî òîì ñëó÷àå, åñëè â íåì ñóùåñòâóåò ñ÷åòíàÿ ïîëíàÿ îðòîíîðìèðî-
âàííàÿ ñèñòåìà ýëåìåíòîâ.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî H ñåïàðàáåëüíî,
ìíîæåñòâî {fj | 1 ≤ j < ∞} óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4.13) è îðòîíîð-
ìèðîâàííàÿ ñèñòåìà {ej | 1 ≤ j < ∞} óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

            ∀n : span{fj | 1 ≤ j ≤ n} ⊂ span{ej | 1 ≤ j ≤ n}.                      (4.14)

Äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà f ∈ H ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
fn(j) , 1 ≤ j < ∞, ÷òî

                              kf − fn(j) k → 0 , j → ∞.

Ïóñòü                                     X
                              fn(j) =              α(n(j) , i) ei .
                                        1≤i≤n(j)

Èç íåðàâåíñòâà (4.9) ñëåäóåò, ÷òî
                              X
          ∀(n > n(j)) : kf −      < ei , f > ei k2 ≤
                                    1≤i≤n
                    X
           kf −              α(n(j) , i) ei k2 = kf − fn(j) k2 → 0 , j → ∞.
                  1≤i≤n(j)



                                            274

Страницы