Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 288 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

U
−1
({α
j
}) = f =
X
1≤j<∞
α
j
e
j
.
l
2
H
0
, H
1
, H
2
U
i
H
i
H
0
A ∈ L(H
1
7→ H
2
) ,
e
A
H
1
A
−−−→ H
2
U
1
y
y
U
2
H
0
e
A
−−−→ H
0
A
e
A
L(H 7→ H)
L
0
f ∈ L
0
: f(x) =
X
1≤j≤n
a
j
exp(iλ
j
x) , λ
j
∈ R
1
, −∞ < x < ∞, n = 1 . . .
L
0
∀(f ∈ L
0
, g ∈ L
0
) : < f , g >:= lim
a→∞
1
2a
Z
a
−a
f
∗
(x)g(x)dx.
H L
0
e
λ
(x) = exp(iλx) , λ ∈ R
1
H
Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
                                                X
                         U −1 ({αj }) = f =            αj ej .
                                               1≤j<∞


Èç äîêàçàííîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî âñå ñåïàðàáåëüíûå ãèëüáåðòîâû ïðî-
ñòðàíñòâà, ïî-ñóùåñòâó, îäèíàêîâû: êàê ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà îíè
óíèòàðíî èçîìîðôíû ïðîñòðàíñòâó l2 .
   Ïóñòü H0 , H1 , H2 -ñåïàðàáåëüíûå ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà, Ui -
óíèòàðíûå îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâ Hi â H0 , A ∈ L(H1 7→ H2 ) , A  e-
îïåðàòîð, êîòîðûé äåëàåò êîììóòàòèâíîé äèàãðàììó:

                                          A
                                   H1 −−−→     H2
                                              
                                     
                                  U1 y
                                               U
                                               y 2
                                          A
                                          e
                                    H0 −−−→ H0

ßñíî, ÷òî èçó÷åíèå îïåðàòîðà A ìîæíî ñâåñòè ê èçó÷åíèþ îïåðàòîðà
e, ïîýòîìó â ñëó÷àå ñåïàðàáåëüíûõ ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ ìîæíî
A
îãðàíè÷èòüñÿ èçó÷åíèåì ïðîñòðàíñòâà L(H 7→ H).
   Ïðèâåäåì ïðèìåð íåñåïàðàáåëüíîãî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà è íåñ÷åò-
íîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû.
   Ïóñòü L0 -ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé âèäà
                      X
   f ∈ L0 : f (x) =           aj exp(iλj x) , λj ∈ R1 , −∞ < x < ∞, n = 1 . . .
                      1≤j≤n


Îïðåäåëèì íà L0 ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
                                                          Z   a
                                               1
        ∀(f ∈ L0 , g ∈ L0 ) : < f , g >:= lim                     f ∗ (x)g(x)dx.
                                          a→∞ 2a            −a


Ïóñòü H -ïîïîëíåíèå L0 îòíîñèòåëüíî íîðìû, èíäóöèðîâàííîé ýòèì ñêà-
ëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.  ïîëó÷åííîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèñòå-
ìà ýëåìåíòîâ
                              eλ (x) = exp(iλx) , λ ∈ R1

îðòîíîðìèðîâàíà è íåñ÷åòíà, à ñàìî ïðîñòðàíñòâî H íåñåïàðàáåëüíî.

                                         276

Страницы