Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 290 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x
0
0
(x
0
0
∈ M) , kx
0
0
k = d.
{x
0
n
} ⊂ M
x
0
n
→ x
0
0
, n → ∞.
x
1
, x
0
1
, x
2
, x
0
2
, . . .
x
0
= x
0
0
M H
M
⊥
= {x | ∀(y ∈ M) : < y , x >= 0}
M
M
M
⊥
H (Cl(M))
⊥
= M
⊥
x 7→< y , x >
{x |< y , x >= 0}
y ∈ H
M
⊥
=
\
y∈M
{x |< y , x >= 0}
x
1
∈ M
⊥
, x
2
∈ M
⊥
∀(y ∈ M) : < αx
1
+ βx
2
, y >= α
∗
< x
1
, y > +β
∗
< x
2
, y >= 0,
αx
1
+ βx
2
∈ M
⊥
.
M
⊥
Ïóñòü x00 -ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò, êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

                            (x00 ∈ M ) , kx00 k = d.

Òîãäà äîëæíà ñóùåñòâîâàòü òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {x0n } ⊂ M , ÷òî

                             x0n → x00 , n → ∞.

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
                             x1 , x01 , x2 , x02 , . . .
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4.15) è ïîýòîìó ôóíäàìåíòàëüíà. Ñëåäîâàòåëü-
íî, x0 = x00 . Òåîðåìà äîêàçàíà.
    Ïóñòü M -ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H .

Îïðåäåëåíèå 4.2.1. Ìíîæåñòâî
                      def
                  M ⊥ = {x | ∀(y ∈ M ) : < y , x >= 0}                      (4.17)

íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì ìíîæåñòâà M .

Ëåììà 4.2.1. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà M åãî îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå
M⊥   åñòü çàìêíóòîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â             H   è   (Cl(M ))⊥ = M ⊥

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèÿ

                                x 7→< y , x >

íåïðåðûâíà, ïîýòîìó ìíîæåñòâî

                             {x |< y , x >= 0}

çàìêíóòî ïðè ëþáîì y ∈ H . Ìíîæåñòâî
                            \
                    M⊥ =      {x |< y , x >= 0}
                                y∈M

çàìêíóòî êàê ïåðåñå÷åíèå çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ.
   Åñëè x1 ∈ M ⊥ , x2 ∈ M ⊥ , òî

     ∀(y ∈ M ) : < αx1 + βx2 , y >= α∗ < x1 , y > +β ∗ < x2 , y >= 0,

ïîýòîìó
                             αx1 + βx2 ∈ M ⊥ .
Ñëåäîâàòåëüíî, M ⊥ -ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî.

                                        278

Страницы