Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 292 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀H
0
: H
0
\
H
⊥
0
= 0.
H
⊥
0
H H
0
H
l ∈ H
?
y(l) ∈ H
∀(x ∈ H) : l(x) =< y(l) , x > .
y(l)
∀x : l(x) =< y(l) , x >=< y
1
(l) , x > , y(l) = y
1
(l).
Ker(l)
H
Ker(l) = H y(l) = 0
Ker(l) 6= H
∃z : z ∈ Ker(l)
⊥
, z 6= 0.
∀(x ∈ H) : l(l(x)z − l(z)x) = l(x)l(z) −l(z)l(x) = 0,
∀(x ∈ H) : (l(x)z −l(z)x) ∈ Ker(l),
∀(x ∈ H) : < z , l(x)z −l(z)x >= 0,
< z , z > l(x) = l(z) < z , x >,
∀x : l(x) =< y(l) , x > , y(l) = l
∗
(z)kzk
−2
z.
Åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ (4.18) ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî
                                 \
                       ∀H0 : H0 H0⊥ = 0.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Çàìåòèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî H0⊥ ìîæåò áûòü îòîæäåñòâëåíî ñ ôàêòîð-
ïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà H ïî ïðîñòðàíñòâó H0 .
   Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ñëåäóåò èç òåîðåìû Ëåâè è íàçûâàåòñÿ òåîðå-
ìîé Ðèññà î ïðåäñòàâëåíèè ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà â ãèëüáåðòîâîì ïðî-
ñòðàíñòâå.
Òåîðåìà 4.2.3. Åñëè H -ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, òî äëÿ ëþáîãî ëè-
íåéíîãî íåïðåðûâíîãî ôóíêöèîíàëà           l ∈ H?   ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð
y(l) ∈ H ,   ÷òî
                          ∀(x ∈ H) : l(x) =< y(l) , x > .                   (4.19)
Óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ          (4.19) âåêòîð y(l) åäèíñòâåíåí.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ (4.19) ñëåäóåò èç íåâû-
ðîæäåííîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:
          åñëè ∀x : l(x) =< y(l) , x >=< y1 (l) , x > , òî y(l) = y1 (l).
Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå ïðåäñòàâëåíèÿ (4.19). Ìíîæåñòâî Ker(l) åñòü
çàìêíóòîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H .
Åñëè Ker(l) = H , òî òåîðåìà äîêàçàíà: ìîæíî ïîëîæèòü y(l) = 0. Åñëè
Ker(l) 6= H , òî
                        ∃z : z ∈ Ker(l)⊥ , z 6= 0.
Òàê êàê
              ∀(x ∈ H) : l(l(x)z − l(z)x) = l(x)l(z) − l(z)l(x) = 0,

òî

              ∀(x ∈ H) : (l(x)z − l(z)x) ∈ Ker(l),

ñëåäîâàòåëüíî

              ∀(x ∈ H) : < z , l(x)z − l(z)x >= 0,

ïîçòîìó

              < z , z > l(x) = l(z) < z , x >,
è
                   ∀x : l(x) =< y(l) , x > , y(l) = l∗ (z)kzk−2 z.          (4.20)
Òåîðåìà äîêàçàíà.

                                        280

Страницы