Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 293 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

I : H
?
7→ H , H
?
3 l 7→ I(l) = y(l) ∈ H
I(αl
1
+ βl
2
) = α
∗
I(l
1
) + β
∗
I(l
2
),
I
−1
(y)(x) =< y , x > .
kI(l) | Hk = kl | H
?
k.
B : H × H 7→ C
1
∀(x ∈ H , y ∈ H , z ∈ H) : B(x , βy + γz) = βB(x , y) + γB(x , z),
B(αx + βy , z) = α
∗
B(x , z) + β
∗
B(y , z).
B(x , y)
∀(x ∈ H , y ∈ H) : B(x , y) = B(y , x)
∗
.
B(x , y) =
1
4
(B(x + y , x + y) − B(x − y , x −y)+
iB(x − iy , x − iy) − iB(x + iy , x + iy)).
B(x , x)
∀(x ∈ H) : B(x , x) ∈ R
1
,
B(x , y) = B(y , x)
∗
.
Ëåììà 4.2.2. Îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé (4.20) îòîáðàæåíèå
                 I : H ? 7→ H , H ? 3 l 7→ I(l) = y(l) ∈ H
àíòèëèíåéíî:
                     I(αl1 + βl2 ) = α∗ I(l1 ) + β ∗ I(l2 ),
îáðàòèìî:
                           I −1 (y)(x) =< y , x > .
è ñîõðàíÿåò íîðìó
                           kI(l) | Hk = kl | H ? k.                 (4.21)
   Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç (4.6).
Îïðåäåëåíèå 4.2.2. Ôóíêöèÿ
                              B : H × H 7→ C1
íàçûâàåòñÿ ïîëóëèíåéíîé (èëè êîñî ëèíåéíîé, èëè ïîëóòîðàëèíåéíîé,
èëè ñîïðÿæåííî-ëèíåéíîé, èëè èíîãäà ïðîñòî áèëèíåéíîé, åñëè ÿñíî, î
÷åì èäåò ðå÷ü) ôîðìîé, åñëè
    ∀(x ∈ H , y ∈ H , z ∈ H) : B(x , βy + γz) = βB(x , y) + γB(x , z),
    B(αx + βy , z) = α∗ B(x , z) + β ∗ B(y , z).
Îïðåäåëåíèå 4.2.3. Áèëèíåéíàÿ ôîðìà B(x , y) íàçûâàåòñÿ êîñîñèì-
ìåòðè÷íîé (èëè ýðìèòîâîé) åñëè
                 ∀(x ∈ H , y ∈ H) : B(x , y) = B(y , x)∗ .          (4.22)
   Ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî äëÿ êîñîñèìåòðè÷íîé áèëè-
íåéíîé ôîðìû ñïðàâåäëèâî ïîëÿðèçàöèîííîå òîæäåñòâî:
                        1
            B(x , y) = (B(x + y , x + y) − B(x − y , x − y)+
                        4
            iB(x − iy , x − iy) − iB(x + iy , x + iy)).             (4.23)
Ñëåäîâàòåëüíî, êîñîñèììåòðè÷íàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà îäíîçíà÷íî îïðå-
äåëÿåòñÿ ñâîèìè çíà÷åíèÿìè íà äèàãîíàëè: êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé B(x , x).
Ëåììà 4.2.3. Åñëè â êîìïëåêñíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå áèëè-
íåéíàÿ ôîðìà íà äèàãîíàëè ïðèíèìàåò äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ:

                         ∀(x ∈ H) : B(x , x) ∈ R1 ,
òî îíà êîñîñèììåòðè÷íà:

                            B(x , y) = B(y , x)∗ .

                                      281

Страницы