Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 294 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Im B(x + y , x + y) = 0
Im B(x , y) = −Im B(y , x).
y → iy,
Re B(x , y) = Re B(y , x).
B
∃(C < ∞) , ∀(x ∈ H , y ∈ H) : |B(x , y)| < Ckxk · kyk,
A ∈ L(H 7→ H)
∀(x ∈ H , y ∈ H) : B(x , y) =< x , Ay > .
B
∃(m > 0) , ∀(x ∈ H) : B(x , x) > mkxk
2
,
A
kA
−1
k ≤ 1/m.
x ∈ H
y 7→ B(y , x)
∗
A(x) ∈ H
∀(y ∈ H) : B(y , x) =< y , A(x) > .
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàâåíñòâî

                          Im B(x + y , x + y) = 0

äàåò:
                       Im B(x , y) = −Im B(y , x).
Ñäåëàâ â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå çàìåíó

                                    y → iy,

ìû ïîëó÷àåì:
                         Re B(x , y) = Re B(y , x).
Ëåììà äîêàçàíà.
   Ñëåäñòâèåì òåîðåìû Ðèññà ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà Ëàêñà-Ìèëüãðàìà-Âèøèêà
(èëè òåîðåìà Ëàêñà-Ìèëüãðàìà, èëè òåîðåìà Ëàêñà):

Òåîðåìà 4.2.4. 1. Åñëè áèëèíåéíàÿ ôîðìà B óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåí-
ñòâó

        ∃(C < ∞) , ∀(x ∈ H , y ∈ H) : |B(x , y)| < Ckxk · kyk,        (4.24)

òî ñóùåñòâóåò òàêîé îïåðàòîð         A ∈ L(H 7→ H),   ÷òî

                 ∀(x ∈ H , y ∈ H) : B(x , y) =< x , Ay > .            (4.25)

2. Åñëè áèëèíåéíàÿ ôîðìà     B   óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ      (4.24) è óñëîâèþ
êîýðöèòèâíîñòè:

                 ∃(m > 0) , ∀(x ∈ H) : B(x , x) > mkxk2 ,             (4.26)

òî âõîäÿùèé â ïðåäñòàâëåíèå       (4.25) îïåðàòîð A îáðàòèì è óäîâëåòâî-
ðÿåò íåðàâåíñòâó:
                              kA−1 k ≤ 1/m.                           (4.27)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèÿ (4.24) ñëåäóåò, ÷òî ïðè êàæäîì ôèêñè-
ðîâàííîì x ∈ H ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë

                                 y 7→ B(y , x)∗

íåïðåðûâåí. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð A(x) ∈ H , ÷òî

                    ∀(y ∈ H) : B(y , x) =< y , A(x) > .

                                      282

Страницы