Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 296 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A ∈ L(H 7→ H)
A
∀(x ∈ H , y ∈ H) : < x , Ay >=< Ax , y > .
i = 1 , 2 , H
i
< , >
i
, A ∈ L(H
1
7→ H
2
)
A
∗
∈ L(H
2
7→ H
1
)
A
∀(x ∈ H
1
, y ∈ H
2
) : < A
∗
y , x >
1
=< y , Ax >
2
.
A
∗
A
?
H
2
H
?
2
A
∗
= I
1
A
?
I
−1
2
,
I
i
: H
?
i
7→ H
i
L(H
1
7→
H
2
)
(αA
1
+ βA
2
)
∗
= α
∗
A
∗
1
+ β
∗
A
∗
2
.
(A
∗
)
∗
= A.
kA
∗
k = kAk.
   ßñíî, ÷òî óñòàíàâëèâàåìîå ôîðìóëîé (4.25) ñîîòâåòñòâèå ìåæäó óäî-
âëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ (4.24) áèëèíåéíûìè ôîðìàìè è îïåðàòîðàìè
A ∈ L(H 7→ H) âçàèìíî îäíîçíà÷íî.  äàëüíåéøåì íàì ÷àñòî áóäåò
óäîáíî çàäàâàòü îïåðàòîðû èõ áèëèíåéíûìè ôîðìàìè (ïîäîáíî òîìó,
êàê â ëèíåéíîé àëãåáðå îïåðàòîðû çàäàþòñÿ ìàòðèöàìè).
   Åñëè áèëèíåéíàÿ ôîðìà êîñîñèììåòðè÷íà, òî âõîäÿùèé â ïðåäñòàâ-
ëåíèå (4.25) îïåðàòîð A óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
                ∀(x ∈ H , y ∈ H) : < x , Ay >=< Ax , y > .


4.3       Ïîíÿòèå ãèëüáåðòîâà ñîïðÿæåíèÿ è îãðà-

          íè÷åííûå ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû â

          ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.

Ïóñòü i = 1 , 2 , Hi -ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâå-
äåíèåì < , >i , A ∈ L(H1 7→ H2 ).
Îïðåäåëåíèå 4.3.1. Îïåðàòîð
                             A∗ ∈ L(H2 7→ H1 )
íàçûâàåòñÿ ãèëüáåðòîâî ñîïðÿæåííûì ê îïåðàòîðó A, åñëè
              ∀(x ∈ H1 , y ∈ H2 ) : < A∗ y , x >1 =< y , Ax >2 .   (4.28)
   Ãèëüáåðòîâî ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð (îáîçíà÷åíèå: A∗ ) è ðàíåå âåäåí-
íûé ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð (îáîçíà÷åíèå: A? ) äåéñòâóþò â ðàçíûõ ïðî-
ñòðàíñòâàõ: ãèëüáåðòîâî ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð äåéñòâóåò â ïðîñòðàí-
ñòâå H2 , à ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå H2? . Ãèëüáåðòîâî ñî-
ïðÿæåííûé îïåðàòîð è ñîïðÿæåííé îïåðàòîð ñâÿçàíû ðàâåíñòâîì
                               A∗ = I1 A? I2−1 ,                   (4.29)
ãäå
                                Ii : Hi? 7→ Hi
-îïðåäåëåííûå ðàíåå îïåðàòîðû âëîæåíèÿ.
Ëåììà 4.3.1. Îïåðàöèÿ ãèëüáåðòîâà ñîïðÿæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå L(H        1    7→
H2 )   óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì

                       (αA1 + βA2 )∗ = α∗ A∗1 + β ∗ A∗2 .
                       (A∗ )∗ = A.                                 (4.30)
                       kA∗ k = kAk.                                (4.31)

                                      284

Страницы