Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 297 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(x ∈ H
1
, y ∈ H
2
) : < y , Ax >
2
=< A
∗
y , x >
1
=
< x , A
∗
y >
∗
1
=< (A
∗
)
∗
x , y >
∗
2
=< y , (A
∗
)
∗
x >
2
.
kA
∗
k ≤ kA
?
k = kAk.
A → A
∗
A ∈ L(H 7→ H)
∀(x ∈ H , y ∈ H) : < x , Ay >=< Ax , y > .
A
∀(x ∈ H) : < x , Ax >≥ 0.
A B
A ≥ B,
A − B ≥ 0.
A B
α > 0 αA , A+B
A
∀(x ∈ H , y ∈ H) : | < x , Ay > | ≤< x , Ax >
1/2
< y , Ay >
1/2
.
< (zx − z
−1
y) , A(zx −z
−1
y) >=
|z|
2
< x , Ax > +|z|
−2
< y , Ay > −2Re (exp(−2i arg(z)) < x , Ay >) ≥ 0.
< x , Ax >= 0
< x , Ay >= 0,
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå ñâîéñòâî î÷åâèäíî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòî-
ðîãî çàìåòèì, ÷òî

             ∀(x ∈ H1 , y ∈ H2 ) : < y , Ax >2 =< A∗ y , x >1 =
              < x , A∗ y >∗1 =< (A∗ )∗ x , y >∗2 =< y , (A∗ )∗ x >2 .

Ðàâåíñòâî (4.30) äîêàçàíî. Èç (4.29) ñëåäóåò, ÷òî

                             kA∗ k ≤ kA? k = kAk.

Äåëàÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå çàìåíó A → A∗ , ìû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî (4.31).
Ëåììà äîêàçàíà.
Îïðåäåëåíèå 4.3.2. Îïåðàòîð A ∈ L(H 7→ H) íàçûâàåòñÿ ñàìîñîïðÿ-
æåííûì, åñëè

               ∀(x ∈ H , y ∈ H) : < x , Ay >=< Ax , y > .               (4.32)

Îïðåäåëåíèå 4.3.3. Îãðàíè÷åííûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð A íà-
çûâàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíûì, åñëè

                         ∀(x ∈ H) : < x , Ax >≥ 0.                      (4.33)

Îïðåäåëåíèå 4.3.4. Åñëè A è B -îãðàíè÷åííûå ñàìîñîïðÿæåííûå îïå-
ðàòîðû, òî
                                    A ≥ B,
åñëè
                                  A − B ≥ 0.
   Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè A è B -íåîòðèöàòåëüíûå îãðàíè÷åííûå ñàìîñî-
ïðÿæåííûå îïåðàòîðû, òî ïðè α > 0 îïåðàòîðû αA , A+B -íåîòðèöàòåëüíû.
Ëåììà 4.3.2. Åñëè A -îãðàíè÷åííûé íåîòðèöàòåëüíûé ñàìîñîïðÿæåí-
íûé îïåðàòîð, òî

   ∀(x ∈ H , y ∈ H) : | < x , Ay > | ≤< x , Ax >1/2 < y , Ay >1/2 .     (4.34)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì íåðàâåíñòâî

 < (zx − z −1 y) , A(zx − z −1 y) >=
|z|2 < x , Ax > +|z|−2 < y , Ay > −2Re (exp(−2i arg(z)) < x , Ay >) ≥ 0.

Åñëè < x , Ax >= 0, òî ìû äîëæíû èìåòü:

                                < x , Ay >= 0,

                                       285

Страницы