Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 299 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

y
n
= (A + iβid)x
n
, ky
(n+m)
− y
n
k
2
≥ β
2
kx
(n+m)
− x
n
k
2
.
x
n
x
n
→ x
0
y
0
= (A + iβid)x
0
∈ H
0
.
H
0
H
0
= H H
0
6= H
∃z : z ∈ H
⊥
0
, kzk = 1.
< z , (A + iβid)z >=< z , Az > +iβkzk
2
= 0,
Im < z , (A + iβid)z > = βkzk
2
= 0.
∀(β 6= 0) : (A + iβid) ∈ L(H → H) , Im(A + iβid) = H , Ker(A + iβid) = 0.
∀(β 6= 0) : (A + iβid)
−1
∈ L(H → H).
λ ∈ R
1
, λ > m
+
.
< x , (λid − A)x >≥ (λ − m
+
)kxk
2
,
B(x , y) =< x , (λid − A)y >
(λid − A)
λ < m
−
(λid−A)
m
±
∈ σ(A)
{x
n
}
kx
n
k = 1 , < x
n
, Ax
n
>→ m
−
.
Òîãäà

          yn = (A + iβid)xn , ky(n+m) − yn k2 ≥ β 2 kx(n+m) − xn k2 .

Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ñõîäèòñÿ:

                   xn → x0    è   y0 = (A + iβid)x0 ∈ H0 .

Çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà H0 äîêàçàíà.
   Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî H0 = H . Ïóñòü H0 6= H . Òîãäà

                           ∃z : z ∈ H0⊥ , kzk = 1.

Ñëåäîâàòåëüíî,

               < z , (A + iβid)z >=< z , Az > +iβkzk2 = 0,

ïîýòîìó
                    Im < z , (A + iβid)z > = βkzk2 = 0.
Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå.
  Èòàê, ìû èìååì:

∀(β 6= 0) : (A + iβid) ∈ L(H → H) , Im(A + iβid) = H , Ker(A + iβid) = 0.

Ïî òåîðåìå Áàíàõà î ñóùåñòâîâàíèè îáðàòíîãî îïåðàòîðà îòñþäà ñëåäó-
åò, ÷òî
                ∀(β 6= 0) : (A + iβid)−1 ∈ L(H → H).
Ëåììà äîêàçàíà.
  Âåðíåìñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû. Ïóñòü

                             λ ∈ R1 , λ > m+ .

Òîãäà
                    < x , (λid − A)x >≥ (λ − m+ )kxk2 ,
ïîýòîìó áèëèíåéíàÿ ôîðìà

                        B(x , y) =< x , (λid − A)y >

êîýðöèòèâíà è îïåðàòîð (λid − A) èìååò îáðàòíûé. Àíàëîãè÷íî äîêàçû-
âàåòñÿ, ÷òî ïðè λ < m− îïåðàòîð (λid−A) èìååò îáðàòíûé. Íàì îñòàëîñü
äîêàçàòü, ÷òî m± ∈ σ(A).
   Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

                      kxn k = 1 , < xn , Axn >→ m− .

                                     287

Страницы