Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 300 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

B = A − m
−
id
x = x
n
, y = (A −m
−
id)x
n
, A = B.
k(A −m
−
id)x
n
k
4
≤ | < x
n
, (A − m
−
id)x
n
> |k(A −m
−
id)k
3
→ 0 , n → ∞.
{x
n
}
A λ = m
−
m
−
∈
σ(A)
{x
n
} : kx
n
k = 1 , < x
n
, Ax
n
>→ m
+
B = m
+
id −A,
A
kAk = sup{| < x , Ax > | | kxk = 1}.
M = sup{| < x , Ax > | | kxk = 1}.
∀(kxk ≤ 1) : | < x , Ax > | ≤ kxk · kAxk ≤ kAk,
M ≤ kAk.
|Re < x , Ay >| =
1
4
(< (x + y) , A(x + y) > − < (x − y) , A(x − y) >) ≤
M
4
kx + yk
2
+ kx −yk
2
=
M
2
kxk
2
+ kyk
2
.
Îïåðàòîð
                               B = A − m− id
íåîòðèöàòåëåí.
   Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî (4.34) ê

                     x = xn , y = (A − m− id)xn , A = B.

Ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî

k(A − m− id)xn k4 ≤ | < xn , (A − m− id)xn > |k(A − m− id)k3 → 0 , n → ∞.

Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
Âåéëÿ (ñì. ñòð. 238) äëÿ îïåðàòîðà A è ÷èñëà λ = m− è ïîýòîìó m− ∈
σ(A).
   Çàòåì ìû ðàññìàòðèâàåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

                     {xn } : kxn k = 1 , < xn , Axn >→ m+

è îïåðàòîð
                               B = m+ id − A,
à äàëåå ðàññóæäàåì àíàëîãè÷íî.
   Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Ðåëåÿ.
Ëåììà 4.3.4. Åñëè îïåðàòîð A ñàìîñîïðÿæåí, òî ñïðàâåäëèâî ðàâåí-
ñòâî
                     kAk = sup{| < x , Ax > | | kxk = 1}.          (4.37)
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

                     M = sup{| < x , Ax > | | kxk = 1}.

Èç íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî ñëåäóåò, ÷òî

             ∀(kxk ≤ 1) : | < x , Ax > | ≤ kxk · kAxk ≤ kAk,

ïîýòîìó
                                  M ≤ kAk.
Äàëåå èìååì:
                 1
 |Re < x , Ay >| = (< (x + y) , A(x + y) > − < (x − y) , A(x − y) >) ≤
                 4
 M                      M
   kx + yk2 + kx − yk2 =        kxk2 + kyk2 .
                                           
 4                          2

                                     288

Страницы