Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 302 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A 6= 0
{e
j
} {λ
j
} ,
λ
j
→ 0 , j → ∞
∀(f ∈ H) : Af =
X
1≤j<∞
λ
j
< e
j
, f > e
j
.
±kAk 6= 0
A λ
1
∈ σ(A) , |λ
1
| = kAk
λ
1
A e
1
Ae
1
= λ
1
e
1
.
A
1
: A
1
f = Af − λ
1
< e
1
, f > e
1
.
A
1
A
1
= 0
A
1
λ
2
e
2
kA
1
k = |λ
2
|
Ae
2
− λ
1
< e
1
, e
2
> e
1
= λ
2
e
2
.
e
1
< e
1
, Ae
2
> −λ
1
< e
1
, e
2
>=
< Ae
1
, e
2
> −λ
1
< e
1
, e
2
>= 0 = λ
2
< e
1
, e
2
> .
λ
2
= 0 , < e
2
, e
1
>= 0
Ae
2
= λ
2
e
2
.
A
2
: A
2
f = A
1
f − λ
1
< e
1
, f > e
1
− λ
2
< e
2
, f > e
2
Òåîðåìà 4.4.1. Åñëè A 6= 0 -ñàìîñîïðÿæåííûé êîìïàêòíûé îïåðàòîð â
ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå,òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ íå áîëåå ÷åì ñ÷åò-
íàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà        {ej } è òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {λj } ,
λj → 0 , j → ∞,   ÷òî
                                       X
                  ∀(f ∈ H) : Af =             λj < ej , f > ej .      (4.40)
                                      1≤j<∞


Åñëè ðÿä   (4.40) áåñêîíå÷åí, òî îí ñõîäèòñÿ ïî íîðìå.

   Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó ëåììû 4.3.1 õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë ±kAk =6 0
ïðèíàäëåæèò ñïåêòðó îïåðàòîðà A. Ïóñòü λ1 ∈ σ(A) , |λ1 | = kAk. Âñå
íå ðàâíûå íóëþ òî÷êè ñïåêòðà êîìïàêòíîãî îïåðàòîðà -èçîëèðîâàííûå
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (ñì. òåîðåìó 3.8.5, ñòð. 235). Ñëåäîâàòåëüíî, λ1
-ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà A. Ïóñòü e1 -ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ:

                                  Ae1 = λ1 e1 .                       (4.41)

Ðàññìîòðèì îïåðàòîð

                     A1 : A1 f = Af − λ1 < e1 , f > e1 .

Îïåðàòîð A1 ñàìîñîïðÿæåí è êîìïàêòåí. Ëèáî A1 = 0, ëèáî ó îïåðàòî-
ðà A1 åñòü ñîáñòåííîå çíà÷åíèå λ2 , êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ñîáñòâåííàÿ
ôóíêöèÿ e2 , ïðè÷åì kA1 k = |λ2 |. Èìååì:

                        Ae2 − λ1 < e1 , e2 > e1 = λ2 e2 .

Óìíîæèâ ñêàëÿðíî îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà íà e1 , ìû ïîëó÷èì:

             < e1 , Ae2 > −λ1 < e1 , e2 >=
             < Ae1 , e2 > −λ1 < e1 , e2 >= 0 = λ2 < e1 , e2 > .

Ñëåäîâàòåëüíî,

                     ëèáî λ2 = 0 , ëèáî < e2 , e1 >= 0

è
                                  Ae2 = λ2 e2 .
Äàëåå ïîëîæèì

            A2 : A2 f = A1 f − λ1 < e1 , f > e1 − λ2 < e2 , f > e2

                                      290

Страницы