Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 301 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x =
Ay
kAyk
.
∀(kyk = 1) : kAyk ≤ M.
A
kA
2
k = kAk
2
.
kA
2
k = sup{< x , A
2
x >| kxk = 1} = sup{< Ax , Ax >| kxk = 1} = kAk
2
.
r(A)
A
r(A) = kAk.
∀n : kA
q(n)
k = kAk
q(n)
, q(n) = 2
n
.
r(A) = lim
n→∞
kA
q(n)
k
1/q(n)
= kAk.
Ïîëîæèì â ýòîì íåðàâåíñòâå

                                        Ay
                                  x=        .
                                       kAyk

Ïîëó÷èì:
                           ∀(kyk = 1) : kAyk ≤ M.
Ëåììà äîêàçàíà.
  Èç ëåììû 4.3.4 âûòåêàþò äâà âàæíûõ ñëåäñòâèÿ.

Ñëåäñòâèå 4.3.1. Åñëè A -ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, òî
                                 kA2 k = kAk2 .                   (4.38)

   Ýòî âûòåêàåò èç ðàâåíñòâà

kA2 k = sup{< x , A2 x >| kxk = 1} = sup{< Ax , Ax >| kxk = 1} = kAk2 .

Ñëåäñòâèå 4.3.2. Åñëè r(A) -ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ñàìîñîïðÿæåííîãî
îïåðàòîðà   A,   òî
                                 r(A) = kAk.                      (4.39)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Èç (4.38) ñëåäóåò, ÷òî

                      ∀n : kAq(n) k = kAkq(n) , q(n) = 2n .

 ñèëó òåîðåìû 3.5.12 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

                       r(A) = lim kAq(n) k1/q(n) = kAk.
                               n→∞



4.4     Êîìïàêòíûå ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòî-

        ðû, îïåðàòîðû Ãèëüáåðòà-Øìèäòà è ÿäåð-

        íûå îïåðàòîðû.


4.4.1   Êîìïàêòíûå ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû.

Ýòè îïåðàòîðû ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ â êëàññè÷åñêèõ çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷å-
ñêîé ôèçèêè. Ñâîéñòâà êîìïàêòíûõ ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ îïè-
ñûâàþòñÿ òåîðåìîé Ãèëüáåðòà-Øìèäòà.

                                      289

Страницы