Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 303 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Af =
X
1≤j≤n
λ
j
< e
j
, f > e
j
,
λ
j
|λ
j
| = kA
j
k → 0 , j → ∞.
D ⊂ R
d
k(x , y)
x , y ∈ D
x , y
∀(x ∈ D , y ∈ D) : k(x , y) = k(y , x).
Af(x) =
Z
D
k(x , y)f(y)dy
L
2
(D)
{λ
+
j
}
A
λ
+
j+1
≤ λ
+
j
.
{λ
−
j
}
A
|λ
−
(j+1)
| ≤ |λ
−
j
|.
L
(j−1)
H
L
(j−1)
⊂ H , (L
(j−1)
) = j − 1,
ν
+
(L
(j−1)
) = sup{< f , Af >| kfk = 1 , f ∈ L
⊥
(j−1)
},
ν
−
(L
(j−1)
) = inf{< f , Af >| kfk = 1 , f ∈ L
⊥
(j−1)
}.
σ(A)
\
[0 , ∞) 6= ∅,
è ïðîäîëæèì ýòîò ïðîöåññ. Òîãäà ëèáî íà íåêîòîðîì øàãå ìû ïîëó÷èì,
÷òî                        X
                    Af =        λj < ej , f > ej ,
                               1≤j≤n

ëèáî ïîëó÷èì áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü λj , ïðè÷åì â ñèëó òåîðå-
ìû 3.8.5
                      |λj | = kAj k → 0 , j → ∞.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Ïðèâåäåì ïðèìåð êîìïàêòíîãî ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà.
   Ïóñòü D ⊂ Rd -îãðàíè÷åííàÿ êâàäðèðóåìàÿ îáëàñòü, k(x , y) -íåïðåðûâíàÿ
ôóíêöèÿ îò x , y ∈ D, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ è
ñèììåòðè÷íà ïî x , y :

                   ∀(x ∈ D , y ∈ D) : k(x , y) = k(y , x).

Îïåðàòîð                            Z
                         Af (x) =       k(x , y)f (y)dy
                                    D

êîìïàêòåí â ïðîñòðàíñòâå L (D) (ñì. ñòð. 224) è ñàìîñîïðÿæåí.
                              2

   Ïóñòü {λ+
           j } -ïîëîæèòåëüíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êîìïàêòíîãî ñà-
ìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà A, ðàñïîëîæåííûå â ïîðÿäêå íåâîçðàñòàíèÿ
ìîäóëÿ:
                            λ+       +
                             j+1 ≤ λj .

Ïóñòü {λ−
        j } -îòðèöàòåëüíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êîìïàêòíîãî ñàìîñî-
ïðÿæåííîãî îïåðàòîðà A, ðàñïîëîæåííûå â ïîðÿäêå íåâîçðàñòàíèÿ ìî-
äóëÿ:
                           |λ−           −
                             (j+1) | ≤ |λj |.

Ïóñòü L(j−1) -ïîäïðîñòðàíñòâà â H :

           L(j−1) ⊂ H , dim(L(j−1) ) = j − 1,
           ν + (L(j−1) ) = sup{< f , Af >| kf k = 1 , f ∈ L⊥
                                                           (j−1) },

           ν − (L(j−1) ) = inf{< f , Af >| kf k = 1 , f ∈ L⊥
                                                           (j−1) }.

Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Å. Ôèøåðà èëè ïðèíöèïîì
ìèíèìàêñà.

Òåîðåìà 4.4.2. 1. Åñëè
                                   \
                            σ(A)    [0 , ∞) 6= ∅,

                                        291

Страницы