Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 304 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

λ
+
1
= sup{< f , Af >| kfk = 1},
∀j > 1 : λ
+
j
= inf{ν
+
(L
(j−1)
) | L
(j−1)
⊂ H}.
σ(A)
\
(−∞, 0] 6= ∅,
λ
−
1
= inf{< f , Af >| kfk = 1},
∀j > 1 : λ
−
j
= sup{ν
−
(L
(j−1)
) | L
(j−1)
⊂ H}.
Ae
±
j
= λ
±
j
e
±
j
λ
±
j
∀(f ∈ H) : < f , Af >=
X
j
λ
+
j
| < e
+
j
, f > |
2
+
X
j
λ
−
j
| < e
−
j
, f > |
2
.
kfk
2
=
X
±,j
| < e
±
j
, f > |
2
.
∀(kfk = 1) : λ
+
1
− < f , Af >=
X
j
(λ
+
1
− λ
+
j
)| < e
+
j
, f > |
2
+
X
j
(λ
+
1
− λ
−
j
)| < e
−
j
, f > |
2
≥ 0,
λ
+
1
=< e
+
1
, Ae
+
1
> .
A 7→ −A
{h
i
, 1 ≤ i ≤ j − 1} ⊂ H,
òî ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà

               λ+
                1 = sup{< f , Af >| kf k = 1},                         (4.42)
               ∀j > 1 : λ+        +
                         j = inf{ν (L(j−1) ) | L(j−1) ⊂ H}.            (4.43)

2. Åñëè                          \
                          σ(A)       (−∞ , 0] 6= ∅,
òî ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà

               λ−
                1 = inf{< f , Af >| kf k = 1},                         (4.44)
               ∀j > 1 : λ−        −
                         j = sup{ν (L(j−1) ) | L(j−1) ⊂ H}.            (4.45)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

                                 Ae±    ± ±
                                   j = λj ej


-ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì λ±     j . Ñïðà-
âåäëèâî ðàâåíñòâî
                          X                       X
   ∀(f ∈ H) : < f , Af >=    λ+
                              j | < e+
                                     j , f > |2
                                                +   λ−      −        2
                                                     j | < ej , f > | .
                             j                        j
                                                                 (4.46)
Èç (4.46) ñëåäóåò, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè òî÷íûõ ãðàíåé â (4.42)-(4.44) äî-
ñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé
                                X
                        kf k2 =   | < e±        2
                                       j , f > | .               (4.47)
                                  ±,j


Åñëè ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (4.47), òî

      ∀(kf k = 1) : λ+
                     1 − < f , Af >=
      X                              X
                  +      +                    −       −
         (λ+                      2
            1 − λj )| < ej , f > | +   (λ+                     2
                                         1 − λj )| < ej , f > | ≥ 0,
          j                              j

ïðè÷åì
                           λ+     +     +
                            1 =< e1 , Ae1 > .

Ðàâåíñòâî (4.42) äîêàçàíî.
   Ðàâåíñòâî (4.44)ïîëó÷àåòñÿ èç (4.42) çàìåíîé A 7→ −A.
   Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíî ëèíåéíî íåçàâèñèìûå âåêòîðû

                        {hi , 1 ≤ i ≤ j − 1} ⊂ H,

                                        292

Страницы