Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 306 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
n
f =
X
1≤j≤n
α
j
< e
j
, f > e
j
kAf − A
n
fk
2
=
X
j>n
α
2
j
| < e
j
, f > |
2
≤ kfk
2
sup{α
2
j
| j > n},
kA − A
n
k ≤ sup{|α
j
| | j > n} → 0 , n → ∞.
A
A ∈ L(H 7→ H) A
∗
A ∈ L(H 7→ H)
R
1
+
3 λ 7→
√
λ ∈ R
1
+
.
|A| := (A
∗
A)
1/2
.
A ∈ L(H 7→ H)
A = U|A|,
|A|
U
1. Dom(U) = Cl(Im(|A|)) , Im(U) = Cl(Im(A)) , Ker(U) = 0.
2. ∀f ∈ Cl(Im(|A|)) : kUfk
2
= kfk
2
.
3. ∃U
−1
: U
−1
∈ L(Cl(Im(A)) 7→ Cl(Im(|A|)).
   Äîêàçàòåëüñòâî. Îïåðàòîð
                                    X
                          An f =           αj < ej , f > ej
                                   1≤j≤n


êîìïàêòåí. Äàëå èìååì:
                          X
        kAf − An f k2 =         αj2 | < ej , f > |2 ≤ kf k2 sup{αj2 | j > n},
                          j>n

ïîýòîìó
               kA − An k ≤ sup{|αj | | j > n} → 0 , n → ∞.
Ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð A åñòü ïðåäåë ïî íîðìå êîìïàêòíûõ îïåðàòî-
ðîâ è ïîýòîìó êîìïàêòåí.


4.4.2     Ïîëÿðíîå ðàçëîæåíèå îïåðàòîðà è õàðàêòåðè-

          ñòè÷åñêèå ÷èñëà.

Ïóñòü A ∈ L(H 7→ H). Îïåðàòîð A∗ A ∈ L(H 7→ H) ñàìîñîïðÿæåí è åãî
ñïåêòð ëåæèò íà íåîòðèöàòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé îñè, ãäå îïðåäåëåíà
ôóíêöèÿ
                                 √
                       R1+ 3 λ 7→ λ ∈ R1+ .
 ñèëó òåîðåìû 4.5.1 êîððåêòíî îïðåäåëåí íåîòðèöàòåëüíûé ñàìîñîïðÿ-
æåííûé îïåðàòîð
                           |A| := (A∗ A)1/2 .                 (4.48)

Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé î ïîëÿðíîì ðàçëîæåíèè îïå-
ðàòîðà.

Òåîðåìà 4.4.3. Îïåðàòîð A ∈ L(H 7→ H) ïðåäñòàâèì â ââèäå:
                                     A = U |A|,                                 (4.49)

ãäå ñàìîñîïðÿæåííûé íåîòðèöàòåëüíûé îïåðàòîð                  |A| äàåòñÿ ôîðìóëîé
(4.48), à îïåðàòîð U óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:

  1. Dom(U ) = Cl(Im(|A|)) , Im(U ) = Cl(Im(A)) , Ker(U ) = 0.                  (4.50)
  2. ∀f ∈ Cl(Im(|A|)) : kU f k2 = kf k2 .                                       (4.51)
  3. ∃U −1 : U −1 ∈ L(Cl(Im(A)) 7→ Cl(Im(|A|)).                                 (4.52)

                                           294

Страницы