Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 307 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀f ∈ H : < |A|f , |A|f >=< f , A
∗
Af >= kAfk
2
.
∀f ∈ H : k|A|fk = kAfk , Ker(|A|) = Ker(A).
U
Gr(U) := {|A|f ⊕ Af | f ∈ H}.
Af = 0 |A|f = 0
A = U|A|
|A|
{|A|f
n
}
{Af
n
} U
Im(|A|)
U(Cl(Im(|A|))) = Cl(Im(A)).
U
−1
H
P
A
= Cl(Im(A)).
U
−1
P
A
U
−1
P
A
A = |A| , kU
−1
P
A
k = 1.
A |A|
A A
∗
A
s
j
(A)
2
: A
∗
Ae
j
= s
j
(A)
2
e
j
, s
(j+1)
(A)
2
≤ s
j
(A)
2
   Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïðåäåëåíèÿ (4.48) ñëåäóåò, ÷òî

            ∀f ∈ H : < |A|f , |A|f >=< f , A∗ Af >= kAf k2 .

Ñëåäîâàòåëüíî,

             ∀f ∈ H : k|A|f k = kAf k , Ker(|A|) = Ker(A).           (4.53)

Îïåðàòîð U ìû îïåðäåëèì, çàäàâ åãî ãðàôèê. Ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþ

                     Gr(U ) := {|A|f ⊕ Af | f ∈ H}.                  (4.54)

Òàê êàê Af = 0 â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè |A|f = 0, ðàâåíñòâî (4.54)
êîððåêòíî çàäàåò ãðàôèê îïåðàòîðà, êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

                                  A = U |A|

è â ñèëó (4.53) íà îáðàçå îïåðàòîðà |A| óäîâëåòâîðÿåò îñòàëüíûì óñëîâè-
ÿì òåîðåìû. Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {|A|fn } ñõîäèòñÿ â òîì è òîëüêî
òîì ñëó÷àå, åñëè ñõîäèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Afn }, îïåðàòîð U ìîæíî
ïî íåïðåðûâíîñòè ïðîäîëæèòü íà çàìûêàíèå ìíîæåñòâà Im(|A|), ïðè÷åì
ïðîäîëæåííûé îïåðàòîð óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:

                      U (Cl(Im(|A|))) = Cl(Im(A)).                   (4.55)

 ñèëó òåîðåìû Áàíàõà îá îáðàòíîì îïåðàòîðå îòñþäà ñëåäóåò òðåòüå
óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Òåîðåìà äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå   4.4.1. Îïðåðàòîð U −1 íå îïðåäåëåí â ïðîñòðàíñòâå H . Ïóñòü

   PA = îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð íà ïðîñòðàíñòâî Cl(Im(A)).            (4.56)

Îïåðàòîð U −1 PA îïðåäåëåí âî âñåì ïðîñòðàíñòâå è óäîâëåòâîðÿåò óñëî-
âèÿì:
                    U −1 PA A = |A| , kU −1 PA k = 1.          (4.57)

Òåîðåìà 4.4.4. Åñëè îïåðàòîð A êîìïàêòåí, òî îïåðàòîð |A| -êîìïàêòíûé
îïåðàòîð.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè îïåðàòîð A êîìïàêòåí, òî îïåðàòîð A∗ A åñòü
ïðîèçâåäåíèå äâóõ êîìïàêòíûõ îïåðàòîðîâ è ïîýòîìó åñòü íåîòðèöàòåëü-
íûé êîìïàêòíûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð. Ïóñòü

             sj (A)2 : A∗ Aej = sj (A)2 ej , s(j+1) (A)2 ≤ sj (A)2   (4.58)

                                     295

Страницы