Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 309 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{e
j
} {g
j
}
K ∈ L(H 7→ H)
Kf =
X
1≤j≤n
< e
j
, f > g
j
{e
j
} {g
j
}
∀f ∈ H :
X
1≤j≤n
< e
j
, f > g
j
=
X
1≤j≤m
< e
0
j
, f > g
0
j
,
f
i
< e
j
, f
i
>= δ
i
j
,
∀i : g
i
=
X
1≤j≤m
< e
0
j
, f
i
> g
0
j
.
n ≤ m
m ≤ n
(K) := (Im(K))
K
K
Im(K) = {g
1
, . . . g
n
}.
(K
∗
) = (K).
   Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà
ñåïàðàáåëüíû è âõîäÿùèå â ðàçëîæåíèå Øìèäòà îðòîíîðìèðîâàííûå ñè-
ñòåìû ïîëíû (ÿñíî, ÷òî ïðè íåîáõîäèìîñòè îðòîíîðìèðîâàííûå ñèñòå-
ìû {ej } è {gj } ìîæíî ïðîèçâîëüíî äîïîëíèòü äî ïîëíûõ îðòîíîðìèðî-
âàííûõ ñèñòåì è ñ÷èòàòü, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå äîïîëíåííûì ýëåìåíòàì
ñëàãàåìûå âõîäÿò â ðàçëîæåíèå ñ íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè).
   Ôóíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ÷èñåë êîìïàêòíîãî
îïåðàòîðà îïèñûâàåòñÿ äîêàçûâàåìîé íèæå òåîðåìîé Ä.Ý.Àëëàõâåðäèåâà.
Ïåðåä ôîðìóëèðîâêîé ýòîé òåîðåìû ìû íàïîìíèì íåêîòîðûå ñâîéñòâî
êîíå÷íîìåðíûõ îïåðàòîðîâ.
Îïðåäåëåíèå 4.4.2. Îïåðàòîð K ∈ L(H 7→ H) íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîìåð-
íûì, åñëè                         X
                        Kf =           < ej , f > gj              (4.62)
                               1≤j≤n

ãäå {ej } è {gj } -ëèíåíî íåçàâèñèìûå ñèñòåìû ýëåìåíòîâ ãèëüáåðòîâà ïðî-
ñòðàíñòâà.
   Ïðåäñòàâëåíèå îïåðàòîðà â âèäå (4.62) íå åäèíñòâåííî. Åñëè
                     X                   X
          ∀f ∈ H :       < ej , f > gj =      < e0j , f > gj0 ,   (4.63)
                     1≤j≤n                      1≤j≤m

òî âûáðàâ â (4.63) âåêòîð fi òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâà

                             < ej , fi >= δji ,

ìû ïîëó÷èì:                       X
                     ∀ i : gi =           < e0j , fi > gj0 .
                                  1≤j≤m

Ñëåäîâàòåëüíî, â ïðåäñòàâëåíèè (4.63) n ≤ m. Àíàëîãè÷íî ìû ïîëó÷à-
åì íåðàâåíñòâî m ≤ n. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ êîíå÷íîìåðíîãî îïåðàòîðà
÷èñëî
                       dim(K) := dim(Im(K))                  (4.64)
çàâèñèò òîëüêî îò îïåðàòîðà K è íå çàâèñèò îò åãî ïðåäñòàâëåíèÿ â
âèäå (4.63). Îïðåäåëåíîå ðàâåíñòâîì (4.64) ÷èñëî ìû áóäåì íàçûâàòü
ðàçìåðíîñòüþ îïåðàòîðà. Åñëè îïåðàòîð K çàäàí ôîðìóëîé (4.62), òî

                       Im(K) = span{g1 , . . . gn }.

Òàêæå î÷åâèäíî ðàâåíñòâî

                          dim(K ∗ ) = dim(K).

                                    297

Страницы