Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 310 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

M
j
:= {K | K ∈ L(H 7→ H) , (K) = j}.
s
1
(A) = kAk , ∀j ≥ 1 : s
j+1
(A) = (A , M
j
).
s
2
(j+1)
(A) =
inf{sup{< f , A
∗
Af >| kfk = 1 , f ∈ (Im(K
∗
))
⊥
| K
∗
∈ M
j
}} =
inf{sup{kAfk
2
| kfk = 1 , f ∈ Ker(K)} | K ∈ M
j
} ≤
inf{sup{k(A − K)fk
2
| kfk = 1} | K ∈ M
j
} =
inf{k(A − K)k
2
| K ∈ M
j
} = (A , M
j
)
2
.
Ker(K) = (Im(K
∗
))
⊥
s
(j+1)
(A) ≤ (A , M
j
).
A
K
0
=
X
1≤i≤j
s
i
(A) < e
i
, f > g
i
.
K
0
∈ M
j
k(A − K
0
)fk
2
=
X
i≥j+1
s
2
i
(A)| < e
i
, f > |
2
≤ s
(j+1)
(A)
2
kfk
2
.
kA − K
0
k ≤ s
(j+1)
(A) s
(j+1)
(A) ≥ (A , M
j
).
Ïóñòü
                     Mj := {K | K ∈ L(H 7→ H) , dim(K) = j}.                       (4.65)
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà íàçûâåòñÿ òåîðåìîé Ä.Ý.Àëëàõâåðäèåâà.
Òåîðåìà 4.4.6. Ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
                    s1 (A) = kAk , ∀j ≥ 1 : sj+1 (A) = dist(A , Mj ).              (4.66)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû Ôèøåðà (òåîðåìà 4.4.2, ñòð. 291) ñëåäóåò,
÷òî

    s2(j+1) (A) =
    inf{sup{< f , A∗ Af >| kf k = 1 , f ∈ (Im(K ∗ ))⊥ | K ∗ ∈ Mj }} =              (4.67)
    inf{sup{kAf k2 | kf k = 1 , f ∈ Ker(K)} | K ∈ Mj } ≤                           (4.68)
    inf{sup{k(A − K)f k2 | kf k = 1} | K ∈ Mj } =                                  (4.69)
    inf{k(A − K)k2 | K ∈ Mj } = dist(A , Mj )2 .                                   (4.70)

Ðàâåíñòâî (4.67) -ýòî ôîðìóëèðîâêà óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû Ôèøåðà. Ðà-
âåíñòâî (4.68) -ýòî ñëåäñòâèå ðàâåíñòâà

                                 Ker(K) = (Im(K ∗ ))⊥
êîòîðîå åñòü ñëåäñòâèå ðàâåíñòâà (3.76) (ñì ñòð. 181). Âïðî÷åì, âûïèñàí-
íîå âûøå ðàâåíñòâî ëåãêî ìîæíî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííî. Ïîñëåäíèå
äâà ðàâåíñòâà åñòü ôîðìóëèðîâêà ñîîòâåòñòâóþùèõ îïðåäåëåíèé.
   Ñëåäîâàòåëüíî,
                        s(j+1) (A) ≤ dist(A , Mj ).
Ïóñòü (4.60) -ðàçëîæåíèå Øìèäòà îïåðàòîðà A. Ïîëîæèì
                          X
                     K0 =    si (A) < ei , f > gi .
                                     1≤i≤j

Î÷åâèäíî, ÷òî
                                          K 0 ∈ Mj
è
                             X
       k(A − K 0 )f k2 =            s2i (A)| < ei , f > |2 ≤ s(j+1) (A)2 kf k2 .   (4.71)
                            i≥j+1

Ñëåäîâàòåëüíî,

                kA − K 0 k ≤ s(j+1) (A) è s(j+1) (A) ≥ dist(A , Mj ).
Òåîðåìà äîêàçàíà.

                                              298

Страницы