Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 312 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H
A ∈ L(H 7→ H)
H : {e
j
, 1 ≤ j < ∞} , {g
j
, 1 ≤ j < ∞}
kA | HSk
2
:=
X
1≤i<∞
1≤j<∞
| < e
j
, Ag
j
> |
2
.
A 7→ kA | HSk
HS
{e
0
j
| 1 ≤ j < ∞}
H
kA | HSk
2
=
X
1≤j<∞
X
1≤i<∞
| < e
i
, Ag
j
> |
2
!
=
X
1≤j<∞
kAg
j
k
2
.
kA | HSk
2
=
X
1≤i<∞
X
1≤j<∞
| < A
∗
e
i
, g
j
> |
2
!
=
X
1≤i<∞
kA
∗
e
i
k
2
.
X
1≤j<∞
kAg
j
k
2
=
X
1≤j<∞
X
1≤i<∞
| < e
0
i
, Ag
j
> |
2
!
4.4.3     Îïåðàòîðû Ãèëüáåðòà-Øìèäòà.

Ïóñòü H ñåïàðàáåëüíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî.

Îïðåäåëåíèå 4.4.3. Îïåðàòîð A ∈ L(H 7→ H) íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì
Ãèëüáåðòà-Øìèäòà, åñëè äëÿ êàêèõ-íèáóäü äâóõ ïîëíûõ îðòîíîðìèðî-
âàííûõ ñèñòåì â ïðîñòðàíñòâå H : {ej , 1 ≤ j < ∞} , {gj , 1 ≤ j < ∞}
ñõîäèòñÿ ðÿä                  X
                 kA | HSk2 :=     | < ej , Agj > |2 .           (4.77)
                                       1≤i<∞
                                       1≤j<∞

   Íèæå ìû äîêàæåì, ÷òî îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì (4.77) ôóíêöèÿ

                                   A 7→ kA | HSk                                        (4.78)

äåéñòâèòåëüíî çàäàåò íåêîòîðóþ íîðìó è ââåäåííîå ðàâåíñòâîì (4.77)
îáîçíà÷åíèå áóäåò îïðàâäàíî.
   Ìíîæåñòâî âñåõ îïåðàòîðîâ Ãèëüáåðòà-Øìèäòà ìû îäîçíà÷èì ñèì-
âîëîì HS .

Òåîðåìà 4.4.8. Åñëè ðÿä        (4.77) ñõîäèòñÿ äëÿ êàêèõ-íèáóäü äâóõ ïîë-
íûõ îðòîíîðìèðîâàííûõ ñèñòåì, òî îí ñõîäèòñÿ äëÿ ëþáûõ ïîëíûõ
îðòîíîðìèðîâàííûõ ñèñòåì è åãî ñóììà íå çàâèñèò îò âûáîðà ýòèõ
ñèñòåì.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {e0j | 1 ≤ j < ∞} -ïðîèçâîëüíàÿ ïîëíàÿ îðòî-
íîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â ïðîñòðàíñòâå H . Â ñèëó ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ
ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
                                              !
                X      X                         X
   kA | HSk2 =               | < ei , Agj > |2 =     kAgj k2 .  (4.79)
                 1≤j<∞      1≤i<∞                                 1≤j<∞
                                                          !
                  X            X                                   X
   kA | HSk2 =                      | < A∗ ei , gj > |2       =           kA∗ ei k2 .   (4.80)
                 1≤i<∞      1≤j<∞                                 1≤i<∞
                                                              !
    X                   X      X
           kAgj k2 =                   | < e0i , Agj > |2                               (4.81)
   1≤j<∞               1≤j<∞   1≤i<∞


Èç ïåðâûõ äâóõ ðàâåíñòâ ñëåäóåò íåçàâèñèìîñòü ñóììû (4.77) îò âûáî-
ðà îðòîíîðìèðîâàííûõ ñèñòåì, èç òðåòüåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî åñëè
ðÿä (4.77) ñõîäèòñÿ äëÿ êàêèõ-íèáóäü äâóõ ïîëíûõ îðòîíîðìèðîâàííûõ
ñèñòåì, òî îí ñõîäèòñÿ äëÿ ëþáûõ ïîëíûõ îðòîíîðìèðîâàííûõ ñèñòåì.

                                          300

Страницы