Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 313 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
kA | HSk
2
=
X
1≤j<∞
s
j
(A)
2
,
s
j
(A) A
A
{e
j
, 1 ≤ j < ∞}
P
n
: P
n
f =
X
1≤j≤n
< e
j
, f > e
j
,
k(A − P
n
A)fk
2
=
X
j>n
| < e
j
, Af > |
2
≤
X
j>n
kA
∗
e
j
k
2
!
kfk
2
.
A
kA − P
n
Ak → 0 , n → ∞.
A
{g
j
, 1 ≤ j < ∞}
|A|
L(H 7→ H)
∀(A ∈ HS , z ∈ C
1
) : zA ∈ HS
A ∈ HS , B ∈ HS {e
j
, 1 ≤ j < ∞}
H
k(A + B) | HSk =
X
1≤j<∞
k(A + B)e
j
k
2
!
1/2
≤
X
1≤j<∞
(kAe
j
k + kBe
j
k)
2
!
1/2
≤
X
1≤j<∞
kAe
j
k
2
!
1/2
+
X
1≤j<∞
kBe
j
k
2
!
1/2
= kA | HSk+ kB | HSk.
Òåîðåìà 4.4.9. Åñëè îïåðàòîð A åñòü îïåðàòîð Ãèëüáåðòà-Øìèäòà,
òî îí êîìïàêòåí è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                                     X
                                  kA | HSk2 =               sj (A)2 ,                          (4.82)
                                                    1≤j<∞

ãäå   sj (A)   -õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà îïåðàòîðà                      A.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü îïåðàòîð A åñòü îïåðàòîð Ãèëüáåðòà-Øìèäòà,
{ej , 1 ≤ j < ∞} -ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà. Îïðåäåëèì îïå-
ðàòîð                             X
                     Pn : P n f =    < ej , f > ej ,
                                             1≤j≤n

Ñïðàâåäëèâû îöåíêè:
                                                                                 !
                                X                             X
      k(A − Pn A)f k2 =               | < ej , Af > |2 ≤             kA∗ ej k2       kf k2 .   (4.83)
                                j>n                            j>n

Èç (4.83) è (4.80)ñëåäóåò, ÷òî åñëè îïåðàòîð A åñòü îïåðàòîð Ãèëüáåðòà-
Øìèäòà, òî
                        kA − Pn Ak → 0 , n → ∞.
è îïåðàòîð A êîìïàêòåí êàê ïðåäåë ïî íîðìå êîìïàêòíûõ êîíå÷íîìåð-
íûõ îïåðàòîðîâ.
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàâåíñòâà (4.82) äîñòàòî÷íî â (4.81) âçÿòü îðòî-
íîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó {gj , 1 ≤ j < ∞} òàê, ÷òîáû îíà âêëþ÷àëà â
ñåáÿ îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà |A|.
Òåîðåìà 4.4.10. Ìíîæåñòâî îïåðàòîðîâ Ãèëüáåðòà-Øìèäòà åñòü ëè-
íåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â                L(H 7→ H)     è ôóíêöèÿ         (4.78) çàäàåò íà ýòîì
ïîäïðîñòðàíñòâå íîðìó.

      Äîêàçàòåëüñòâî. Âêëþ÷åíèå
                                ∀(A ∈ HS , z ∈ C1 ) : zA ∈ HS
è îäíîðîäíîñòü ôóíêöèè (4.78) î÷åâèäíû.
   Ïóñòü A ∈ HS , B ∈ HS è {ej , 1 ≤ j < ∞} -ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàí-
íàÿ ñèñòåìà â ïðîñòðàíñòâå H . Òîãäà
                                      !1/2                           !1/2
                    X                         X
k(A + B) | HSk =        k(A + B)ej k2      ≤      (kAej k + kBej k)2      ≤
                            1≤j<∞                                    1≤j<∞
                     !1/2                           !1/2
      X                            X
           kAej k2          +             kBej k2          = kA | HSk + kB | HSk.
  1≤j<∞                          1≤j<∞


                                               301

Страницы