Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 314 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(A ∈ HS) : kAk ≤ kA | HSk.
∀(A ∈ HS) : A
∗
∈ HS kA
∗
| HSk = kA | HSk
∀(A ∈ HS , B ∈ L(H 7→ H)) : AB ∈ HS , BA ∈ HS
kBA | HSk ≤ kBkkA | HSk kAB | HSk ≤ kBkkA | HSk.
kAg
1
k ≤ kA | HSk
g
1
{e
j
, 1 ≤ j <
∞} H
kBA | HSk
2
=
X
1≤j<∞
kBAe
j
k
2
≤ kBk
2
X
1≤j<∞
kAe
j
k
2
= kBk
2
kA | HSk
2
,
kAB | HSk = kB
∗
A
∗
| HSk ≤ kBk · kA | HSk.
HS
HS
HS(A , B) :=
X
1≤j<∞
< Ae
j
, Be
j
>,
{e
j
, 1 ≤ j < ∞}
HS
HS
Ìû äîêàçàëè, ÷òî ìíîæåñòâî îïåðàòîðîâ Ãèëüáåðòà-Øìèäòà åñòü ëèíåé-
íîå ïðîñòðàíñòâî è ôóíêöèÿ (4.78) óäâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó òðåóãîëü-
íèêà. Âûïîëíåíèå îñòàëüíûõ àêñèîì íîðìû î÷åâèäíî. Òåîðåìà äîêàçàíà.

Òåîðåìà 4.4.11. Íîðìà (4.78) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì.
       ∀(A ∈ HS) : kAk ≤ kA | HSk.                                  (4.84)
       ∀(A ∈ HS) : A∗ ∈ HS è kA∗ | HSk = kA | HSk                   (4.85)
       ∀(A ∈ HS , B ∈ L(H 7→ H)) : AB ∈ HS , BA ∈ HS è
       kBA | HSk ≤ kBkkA | HSk kAB | HSk ≤ kBkkA | HSk.             (4.86)

     Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ðàâåíñòâà (4.79) ñëåäóåò:

                              kAg1 k ≤ kA | HSk

Òàê êàê â êà÷åñòâå âåêòîðà g1 ìîæåò áûòü âçÿò ëþáîé îðòîíîðìèðîâàí-
íûé âåêòîð, òî èç ýòîãî íåðàâåíñòâà âûòåêàåò (4.84). Ðàâåíñòâî (4.85)
ñëåäóåò èç ñðàâíåíèÿ ðàâåíñòâ (4.79) è (4.80).
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâ (4.85) çàìåòèì, ÷òî åñëè {ej , 1 ≤ j <
∞} -ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â ïðîñòðàíñòâå H , òî
                 X                      X
  kBA | HSk2 =        kBAej k2 ≤ kBk2        kAej k2 = kBk2 kA | HSk2 ,
                   1≤j<∞                     1≤j<∞

è

    kAB | HSk = kB ∗ A∗ | HSk ≤ kBk · kA | HSk.

Òåîðåìà äîêàçàíà.

Òåîðåìà 4.4.12. 1. Ïðîñòðàíñòâî HS åñòü ïîëíîå íîðìèðîâàííîå ïðî-
ñòðàíñòâî îòíîñèòåëüíî íîðìû           (4.78).
     2. Íà ïðîñòðàíñòâå      HS   êîððåêòíî îïðåäåëåíà áèëèíåéíàÿ ôîðìà
                                       X
                     HS(A , B) :=            < Aej , Bej >,         (4.87)
                                     1≤j<∞

êîòîðàÿ íå çàâèñèò îò âûáîðà ïîëíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû
{ej , 1 ≤ j < ∞}       (4.87) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.
                   è ðÿä â
   3. Áèëèíåéíàÿ ôîðìà (4.87) çàäàåò íà ïðîñòðàíñòâå HS ñêàëÿðíîå
ïðîèçâåäåíèå, êîòîðîå ïîðîæäàåò íîðìó (4.78) è îòíîñèòåëüíî ñêà-
ëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (4.87) ïðîñòðàíñòâî HS åñòü ãèëüáåðòîâî ïðî-
ñòðàíñòâî.


                                       302

Страницы