Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 316 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

a(x , y) :=
X
1≤i<∞ , 1≤j<∞
< g
i
, Ag
j
> e
i
(x)e
j
(y),
ZZ
D×D
|a(x , y)|
2
µ(dx)µ(dy) = kA | HSk
2
.
H
{g
j
, 1 ≤ j < ∞}
H D ⊂ R
d
{e
j
(x) , 1 ≤ j < ∞}
L
2
(D , µ(dx))
e
j
(x)
e
j
(x) = e
j
(x)
∗
.
U : H 7→ L
2
(D , µ(dx)),
Ug
j
= e
j
f =
X
1≤j<∞
< g
j
, f > g
j
, Af =
X
1≤j<∞
< g
j
, f > Ag
j
=
X
1≤j<∞ , 1≤i<∞
< g
j
, f >< g
i
, Ag
j
> g
i
;
UAf =
X
1≤j<∞ , 1≤i<∞
< g
j
, f >< g
i
, Ag
j
> e
i
.
< g
j
, f >=< e
j
, Uf >,
UAf =
X
1≤j<∞ , 1≤i<∞
< e
j
, Uf >< g
i
, Ag
j
> e
i
(x);
e
AUf =
X
1≤j<∞ , 1≤i<∞
< e
j
, Uf >< g
i
, Ag
j
> e
i
=
X
1≤j<∞ , 1≤i<∞
< g
i
, Ag
j
>
Z
D
e
i
(x)e
j
(y)Uf(y)µ(dy)
.
êîòîðîå âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
                                X
             a(x , y) :=                     < gi , Agj > ei (x)ej (y),    (4.91)
                           1≤i<∞ , 1≤j<∞

ïðè÷åì ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                   ZZ
                        |a(x , y)|2 µ(dx)µ(dy) = kA | HSk2 .               (4.92)
                 D×D

    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü H -ïðîèçâîëüíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî è
{gj , 1 ≤ j < ∞} -ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â ïðîñòðàíñòâå
H . Ïóñòü D ⊂ Rd è {ej (x) , 1 ≤ j < ∞} -ïîëíàÿ îðòíîðìèðîâàííàÿ
ñèñòåìà â ïðîñòðàíñòâå L2 (D , µ(dx)). Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèè
ej (x) äåéñòâèòåëüíû:
                            ej (x) = ej (x)∗ .
Îïðåäåëèì óíèòàðíîå îòîáðàæåíèå
                            U : H 7→ L2 (D , µ(dx)),
ðàâåíñòâîì
                                     U gj = ej
Äàëåå âû÷èñëÿåì, äâèãàÿñü ïî âåðõíåé è ïðàâîé ñòðåëêå âíèç íà äèà-
ãðàììå (4.89). Èìååì:
               X                        X
         f=        < gj , f > gj , Af =   < gj , f > Agj =
               1≤j<∞                             1≤j<∞
               X
                          < gj , f >< gi , Agj > gi ;
          1≤j<∞ , 1≤i<∞
                        X
          U Af =                   < gj , f >< gi , Agj > ei .
                   1≤j<∞ , 1≤i<∞

Òàê êàê
       < gj , f >=< ej , U f >,
òî
                    X
      U Af =                   < ej , U f >< gi , Agj > ei (x);
               1≤j<∞ , 1≤i<∞
                    X
      AU
      e f=                     < ej , U f >< gi , Agj > ei =
               1≤j<∞ , 1≤i<∞
                                                                   
             X                           Z
                       < gi , Agj >         ei (x)ej (y)U f (y)µ(dy) .   (4.93)
      1≤j<∞ , 1≤i<∞                    D


                                         304

Страницы