Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 317 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A ∈ HS
L
2
(D×D , µ(dx)×µ(dy))
∀(ψ ∈ H) : <
e
AUf , Uψ >=
ZZ
D×D
(a(x , y)Uf(y))
∗
Uψ(x)µ(dx) × µ(dy)
ZZ
D×D
(a(x , y)Uf(y))
∗
Uψ(x)µ(dx) × µ(dy) =
Z
D
Z
D
(a(x , y)Uf(y)µ(dy)
∗
Uψ(x)µ(dx)
Uψ(x) 7→
Z
D
Z
D
(a(x , y)Uf(y)µ(dy)
∗
Uψ(x)µ(dx)
b(x) ∈
L
2
(D , µ(dx))
∀(ψ ∈ H) : < b , Uψ >=
Z
D
Z
D
((a(x , y)Uf(y)µ(dy)
∗
Uψ(x)µ(dx)
b(x)
A ∈ L(H 7→ H)
kA | Nclk :=
X
1≤j<∞
s
j
(A).
Íàì ïðåäñòîèò îáîñíîâàòü ïåðåìåíó ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ è ñóììè-
ðîâàíèÿ â (4.93). Ìû ñäåëàåì ýòî ñ ïîìîùüþ ïðèåìà, êîòîðûé ÷àñòî îêà-
çûâàåòñÿ ïîëåçåí â àíàëîãè÷íûõ ñëó÷àÿõ. Çàìåòèì, ÷òî òàê êàê A ∈ HS ,
òî ðÿä â (4.91) ñõîäèòñÿ â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà L2 (D×D , µ(dx)×µ(dy)),
ïîýòîìó
                                ZZ
  ∀(ψ ∈ H) : < AU f , U ψ >=
                  e                 (a(x , y)U f (y))∗ U ψ(x)µ(dx) × µ(dy)
                                 D×D
                                                                (4.94)
Âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé Ôóáèíè 1.2.6 (ñì. ñòð. 70) çàïèøåì èíòåãðàë
â (4.94) êàê ïîâòîðíûé:
                ZZ
                   (a(x , y)U f (y))∗ U ψ(x)µ(dx) × µ(dy) =
               D×D
                                         ∗
               Z    Z
                    (a(x , y)U f (y)µ(dy) U ψ(x)µ(dx)
               D     D

   Çàäàííûé ïðàâîé ÷àñòüþ ðàâåíñòâà (4.95) ôóíêöèîíàë
                                          ∗
                  Z Z
         U ψ(x) 7→  (a(x , y)U f (y)µ(dy) U ψ(x)µ(dx)             (4.95)
                     D   D

ëèíååí è íåïðåðûâåí. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð b(x) ∈
L2 (D , µ(dx)), ÷òî
                                                   ∗
                           Z Z
    ∀(ψ ∈ H) : < b , U ψ >=  ((a(x , y)U f (y)µ(dy) U ψ(x)µ(dx)
                             D    D
                                                                 (4.96)
Ïî îïðåäåëåíèþ, èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (4.90) ìû áóäåì ñ÷è-
òàòü ðàâíûì ýòîì âåêòîðó b(x) (ýòî åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé òàê íàçûâàåìîãî
èíòåãðàëà Ïåòòèñà: èíòåãðàë ïîíèìàåòñÿ êàê çàäàâàåìûé ïîäèíòåãðàëü-
íûì âûðàæåíèåì ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóêöèîíàë). Ðàâåíñòâî (4.92)
ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà Ïàñåâàëÿ. Òåîðåìà äîêàçàíà.

4.4.4    ßäåðíûå îïåðàòîðû.

Îïðåäåëåíèå 4.4.4. Êîìïàêòíûé îïåðàòîð A ∈ L(H 7→ H) íàçûâàåòñÿ
ÿäåðíûì, åñëè ñõîäèòñÿ ðÿä èç åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ÷èñåë:
                                    X
                      kA | N clk :=     sj (A).                     (4.97)
                                         1≤j<∞



                                       305

Страницы