Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 315 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{A
n
} ⊂ HS
HS
L(H 7→ H)
∃A : kA − A
n
k → 0 , n → ∞.
n → ∞
kA
n
| HSk
2
=
X
1≤j<∞
kA
n
e
j
k
2
≤ const.
A ∈ HS
HS
| < Ae
j
, Be
j
> | ≤ kAe
j
k
2
+ kBe
l
k
2
.
kA | HSk
2
= HS(A , A)
A ∈ HS
U : H 7→ L
2
(D , µ(dx)),
e
A
H
A
−−−→ H
U
y
y
U
L
2
(D , µ(dx))
e
A
−−−→ L
2
(D , µ(dx))
∀(f ∈ H) :
e
AUf(x) =
Z
D
a(x , y)Uf(y)µ(dy)
ZZ
D×D
|a(x , y)|
2
µ(dx)µ(dy) < ∞,
   Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {An } ⊂ HS ôóíäàìåí-
òàëüíà ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà HS , òî â ñèëó íåðàâåíñòâà (4.84) îíà ôóí-
äàìåíòàëüíà â L(H 7→ H) è ïîýòîìó

                       ∃A : kA − An k → 0 , n → ∞.                  (4.88)

Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó n → ∞ â íåðàâåíñòâå
                                    X
                    kAn | HSk2 =            kAn ej k2 ≤ const.
                                   1≤j<∞


ìû ïîëó÷àåì, ÷òî îïðåäåëåííûé ðàâåíñòâîì (4.88) îïåðàòîð A ∈ HS .
Ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà HS äîêàçàíà.
  Àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà (4.87) ñëåäóåò èç îöåíêè

                    | < Aej , Bej > | ≤ kAej k2 + kBel k2 .

Ðàâåíñòâî
                            kA | HSk2 = HS(A , A)
ñëåäóåò èç (4.79). Òåîðåìà äîêàçàíà.

Òåîðåìà 4.4.13. Åñëè A ∈ HS , òî ñóùåñòâóåò òàêîå óíèòàðíîå îòîá-
ðàæåíèå
                            U : H 7→ L2 (D , µ(dx)),
÷òî îïåðàòîð   e,
               A    êîòîðûé äåëàåò êîììóòàòèâíîé äèàãðàììó

                                       A
                          H          −−−→           H
                                                   
                                                                    (4.89)
                                                   
                         Uy                         yU
                                       A
                     L2 (D , µ(dx)) −−−→ L2 (D , µ(dx))
                                       e



åñòü èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð
                                        Z
               ∀(f ∈ H) : AU
                          e f (x) =          a(x , y)U f (y)µ(dy)   (4.90)
                                        D

ñ êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìûì ÿäðîì
                       ZZ
                            |a(x , y)|2 µ(dx)µ(dy) < ∞,
                      D×D


                                      303

Страницы