Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 318 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
{e
j
| 1 ≤ j < ∞}
X
1≤j<∞
< e
j
, |A|e
j
>
|A|
1/2
kA | Nclk = k|A|
1/2
k
2
X
1≤j<∞
< e
j
, |A|e
j
>=
X
1≤j<∞
< |A|
1/2
e
j
, |A|
1/2
e
j
>= k|A|
1/2
| HSk
2
.
|A|
A
Ncl ⊂ HS.
A
A
A
A = U|A| = U|A|
1/2
· |A|
1/2
,
U|A|
1/2
|A|
1/2
A ∈ HS , B ∈ HS AB ∈ {e
j
, 1 ≤ j <
∞} H
|AB| = U
−1
AB
P
AB
AB,
   Ïîçæå ìû äîêàæåì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (4.97) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
íîðìû. Îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì (4.97) íîðìà íàçûâàåòñÿ ÿäåðíîé (èëè
ñëåäîâîé) íîðìîé.
   Ìíîæåñòâî âñåõ ÿäåðíûõ îïåðàòîðîâ ìû îáîçíà÷èì ñèìâîëîì Ncl.
Ëåììà 4.4.2. Îïåðàòîð A ÿäåðíûé â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè
äëÿ êàêîé-ëèáî ïîëíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû            {ej | 1 ≤ j < ∞}
ñõîäèòñÿ ðÿä                  X
                                     < ej , |A|ej >                  (4.98)
                             1≤j<∞

Åñëè ðÿä   (4.98) ñõîäèòñÿ äëÿ êàêîé-ëèáî ïîëíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñè-
ñòåìû, òî îí ñõîäèòñÿ äëÿ ëþáîé ïîëíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû,
åãî ñóììà íå çàâèñèò îò âûáîðà ïîëíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû,
îïåðàòîð   |A|1/2   åñòü îïåðàòîð Ãèëüáåðòà-Øìèäòà è âûïîëíåíî ðàâåí-
ñòâî
                            kA | N clk = k|A|1/2 k2                  (4.99)
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
    X                    X
         < ej , |A|ej >=    < |A|1/2 ej , |A|1/2 ej >= k|A|1/2 | HSk2 .
   1≤j<∞                   1≤j<∞

Îòñþäà ñëåäóåò íåçàâèñèìîñòü ñóììû ðÿäà (4.177) îò âûáîðà ïîëíîé
îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàâåíñòâà (4.99) äî-
ñòàòî÷íî âûáðàòü ïîëíóþ îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó òàê, ÷òîáû îíà
âêëþ÷àëà â ñåáÿ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà |A|.
Çàìå÷àíèå  4.4.2. Ìû âèäèì, ÷òî èç ñõîäèìîñòè ðÿäà (4.98) ñëåäóåò, ÷òî
îïåðàòîð A åñòü îïåðàòîð Ãèëüáåðòà-Øìèäòà è ïîýòîìó êîìïàêòíûé
îïåðàòîð. Îòìåòèì, ÷òî
                             N cl ⊂ HS.
Òåîðåìà 4.4.14. Îïåðàòîð A ÿäåðíûé â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè
îí åñòü ïðîèçâåäåíèå äâóõ îïåðàòîðîâ Ãèëüáåðòà-Øìèäòà.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü îïåðàòîð A ÿäåðíûé. Èñïîëüçóÿ ïîëÿðíîå ðàç-
ëîæåíèå îïåðàòîðà A (ñì. (4.49), ñòð. 294), ìû ïîëó÷àåì:
                         A = U |A| = U |A|1/2 · |A|1/2 ,
ãäå îïåðàòîðû U |A|1/2 è |A|1/2 åñòü îïåðàòîðû Ãèëüáåðòà-Øìèäòà.
    Ïóñòü A ∈ HS , B ∈ HS . Äîêàæåì, ÷òî AB ∈ Ncl. Ïóñòü {ej , 1 ≤ j <
∞} -ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â ïðîñòðàíñòâå H . Èç ôîðìóëû
(4.57) ñëåäóåò, ÷òî
                                     −1
                           |AB| = UAB   PAB AB,

                                      306

Страницы