Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 320 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

X
1≤j<∞
< e
j
, U
−1
(A+B)
P
(A+B)
Ae
j
>
=
X
1≤j<∞
< (U
−1
(A+B)
P
(A+B)
U
A
|A|
1/2
)
∗
e
j
, |A|
1/2
e
j
>
=
HS((U
−1
(A+B)
P
(A+B)
U
A
|A|
1/2
)
∗
, |A|
1/2
)
≤
k(U
−1
(A+B)
P
(A+B)
U
A
|A|
1/2
)
∗
| HSk · k|A|
1/2
| HSk ≤
k|A|
1/2
| HSk
2
= kA | Nclk.
kA + B | Nclk ≤ kA | Nclk+ kB | Nclk.
∀(A ∈ Ncl) : tr(A) :=
X
1≤j<∞
< e
j
, Ae
j
>
{e
j
, 1 ≤ j < ∞}
1 ∀(A , B ∈ HS) : tr(AB) = tr(BA).
2. |tr(A)| ≤ kA | Nclk.
A
X
1≤j<∞
< e
j
, Ae
j
>=
X
1≤j<∞
< e
j
, U|A|e
j
>=
X
1≤j<∞
< (U|A|
1/2
)
∗
e
j
, |A|
1/2
e
j
>= HS((U|A|
1/2
)
∗
, |A|
1/2
).
ñëåäîâàòåëüíî,

     X
                    −1
            < ej , U(A+B) P(A+B) Aej > =
    1≤j<∞

     X
                −1
            < (U(A+B) P(A+B) UA |A|1/2 )∗ ej , |A|1/2 ej > =
    1≤j<∞
         −1
    HS((U(A+B) P(A+B) UA |A|1/2 )∗ , |A|1/2 ) ≤
      −1
   k(U(A+B) P(A+B) UA |A|1/2 )∗ | HSk · k|A|1/2 | HSk ≤
   k|A|1/2 | HSk2 = kA | N clk.

Àíàëîãè÷íî îöåíèâàåòñÿ âòîðîå ñëàãàåìîå â (4.101). Èç (4.99) ñëåäóåò,
÷òî
               kA + B | N clk ≤ kA | N clk + kB | N clk.
Ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà ÿäåðíûõ îïåðàòîðîâ îòíîñèòåëüíî ÿäåðíîé íîð-
ìû äîêàçûâàåòñÿ äîñëîâíûì ïîâòîðåíèåì äîêàçàòåëüñòâà ïîëíîòû ïðî-
ñòðàíñòâà îïåðàòîðîâ Ãèëüáåðòà-Øìèäòà. Òåîðåìà äîêàçàíà.
Òåîðåìà 4.4.16. Íà ïðîñòðàíñòâå ÿäåðíûõ îïåðàòîðîâ êîððåêòíî îïðå-
äåëåí ôóíêöèîíàë
                                               X
                  ∀(A ∈ N cl) : tr(A) :=              < ej , Aej >             (4.102)
                                              1≤j<∞

Ïðàâàÿ ÷àñòü    (4.102) íå çàâèñèò îò âûáîðà ïîëíîé îðòîíîðìèðîâàííîé
ñèñòåìû   {ej , 1 ≤ j < ∞} è îïåðäåëåííûé ðàâåíñòâîì (4.102) ôóíêöèî-
íàë óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:

                    1 ∀(A , B ∈ HS) : tr(AB) = tr(BA).                         (4.103)
                    2. |tr(A)| ≤ kA | N clk.                                   (4.104)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ïîëÿðíîå ðàçëîæåíèå îïåðàòîðà A, ìû
ïîëó÷àåì:
        X                  X
             < ej , Aej >=     < ej , U |A|ej >=
        1≤j<∞                   1≤j<∞
          X
                < (U |A|1/2 )∗ ej , |A|1/2 ej >= HS((U |A|1/2 )∗ , |A|1/2 ).
        1≤j<∞

Îòñþäà ñëåäóåò àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà (4.102) è íåçàâèñèìîñòü åãî
ñóììû îò âûáîðà îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû.

                                        308

Страницы